Limite di una funzione complessa
Mi rivolgo nuovamente alla comunità per avere lumi su una questione che, forse, è passata inosservata (vorrei escludere il caso in cui, invece, tale questione non abbia trovato risposta! 
).
Dunque il problema è questo. Devo calcolarmi il limite, per $t->oo$ dell'esponenziale complesso. In particolare vorrei capire perchè tale limite è nullo. In formula:
$lim_{t->oo}e^(-jomegat)=0$
In realtà i dubbi che ho su questo limite sono diversi.
1. Intanto il significato della scrittura stessa, dal momento che quando abbiamo a che fare con numeri complessi ci riferiamo a due grandezze distinte: il modulo e la fase (con questa scrittura si vuole calcolare il limite di quale delle due? O cos'altro?)
2. Come già detto altrove l'esponenziale complesso è un fasore di modulo unitario ed indipendente dal tempo. La fase è invece variabile (il fasore è un vettore che ruota in senso antiorario a velocità costante pari a $omega$; la sua fase è l'angolo che tale vettore forma con l'asse dei numeri reali). Il suo valore limite è indefinito, credo.
Grazie per gli eventuali contributi.
).Dunque il problema è questo. Devo calcolarmi il limite, per $t->oo$ dell'esponenziale complesso. In particolare vorrei capire perchè tale limite è nullo. In formula:
$lim_{t->oo}e^(-jomegat)=0$
In realtà i dubbi che ho su questo limite sono diversi.
1. Intanto il significato della scrittura stessa, dal momento che quando abbiamo a che fare con numeri complessi ci riferiamo a due grandezze distinte: il modulo e la fase (con questa scrittura si vuole calcolare il limite di quale delle due? O cos'altro?)
2. Come già detto altrove l'esponenziale complesso è un fasore di modulo unitario ed indipendente dal tempo. La fase è invece variabile (il fasore è un vettore che ruota in senso antiorario a velocità costante pari a $omega$; la sua fase è l'angolo che tale vettore forma con l'asse dei numeri reali). Il suo valore limite è indefinito, credo.
Grazie per gli eventuali contributi.
Risposte
allora:
se il nostro obbiettivo è quello di risolvere quell'integrale, allora l'abbiamo raggiunto e l'integrale non esiste.
se invece l'obbiettivo è quello di trovare una trasformata di Fourier anche alle funzioni che non appartengono a $L^1$ (ovvero il risultato del tuo integrale) è necessario trattarle come funzioni generalizzate (come aveva fatto vedere elgiovo) e quindi entrare nel tema della teoria delle distribuzioni.
spero che ora sia chiaro
se il nostro obbiettivo è quello di risolvere quell'integrale, allora l'abbiamo raggiunto e l'integrale non esiste.
se invece l'obbiettivo è quello di trovare una trasformata di Fourier anche alle funzioni che non appartengono a $L^1$ (ovvero il risultato del tuo integrale) è necessario trattarle come funzioni generalizzate (come aveva fatto vedere elgiovo) e quindi entrare nel tema della teoria delle distribuzioni.
spero che ora sia chiaro
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