Limite di una funzione

[Gian741]

scusate ma non riesco proprio a capire:

definendo x > 0 il lim 1/x con x-->+oo = 0
per dimostrare questo risultato utilizzo |f(x)-L|<ε
come soluzione trovo x>1/ε

Non riesco a capire che relazione c'è tra il risultato del limite 0 e x>1/ε

grazie
Gianluca

[daertu]

Se non ho capito male, hai la funzione
$f:\RR^+\to\RR\qquad x\to\frac{1}{x}$
e vuoi verificare che
$lim_{x\to +\infty}f(x)=0$
giusto?
Se riguardi la definizione di limite vedrai
$\AA\epsilon\in\RR^+\EE\delta\in\RR^+tc(...)$
In questo caso, $\frac{1}{\epsilon}$ corrisponde a $\delta$

P.S. Piccolo consiglio per i prossimi post: dai un'occhiata qui http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html

[Gian741]

ciao daertu
intanto grazie per la risposta e per il consiglio

ok $\frac{1}{\epsilon}$ corrisponde a $\delta$ non riesco proprio a capire perchè questo verifichi $\lim_{x \to \infty}f(x)=0$

Grazie
Gianluca

[roxy3]

fissiamo $epsilon>0$ piccolo a piacere e scriviamo la disequazione $|(1/x -0)| risolvendo il sistema relativo alla diseq. in modulo
si avrà che $x<-1/epsilon$ o $x>1/epsilon$
poichè nella soluzione c'è un intorno di $+infty$, cioè $x>kepsilon$, il limite è verificato.
potresti provare numericamente ponendo, per esempio $epsilon=0,1$, la soluzione della disequazione :
$x<-10$ o $x>10$, il secondo intervallo è un intorno di $+infty$ !


spero che ti sia stata utile !

[@melia]

"Gian74":Non riesco a capire che relazione c'è tra il risultato del limite 0 e x>1/ε

La relazione che devi cercare non è tra il risultato del limite e l'intervallo trovato, ma tra il valore a cui tende x e l'intervallo.
Poiché $x->+oo$ e gli intorni di $+oo$ sono delle semirette crescenti, hai trovato come risultato una semiretta crescente $x>1/epsilon$, quindi il limite è verificato

[Gian741]

grazie per le vostre risposte

potresti provare numericamente ponendo, per esempio $\epsilon= 0,1$ , la soluzione della disequazione :
$x<-10$ o $x>10$, il secondo intervallo è un intorno di $+infty$ !

questo significa che per avere $f(x)<\frac{1}{\epsilon}$ devo scegliere un $x>10$

ma se per assurdo io sbagliassi il lmite dicendo $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=1$
avrei come risultato $x>\frac{1}{\epsilon+1}$
quindi pongo $\epsilon=0,1$ e trovo che $x>0,9$
da cosa capisco che il limite non è verificato.

mi scuso per queste domandi così banali, ma vorrei cercare di capire bene questo punto che mi sembra fondamentale.

[roxy3]

non hai solo la disequazione $x>\frac{1}{\epsilon+1}$ , ma anche $x>1/(1-epsilon)$ che dovresti risolvere graficamente a sistema e una volta trovata la soluzione potrai sostituire il valore $epsilon=0,1$ e ..... ah ricordati che la disequazione è fratta ed il suo denominatore è $x$

scusa, forse prima non mi sono spiegata bene... non ho ora il tempo di spiegarti meglio... magari stasera
ciao

[@melia]

"Gian74":grazie per le vostre risposte, ma se per assurdo io sbagliassi il lmite dicendo $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=1$ avrei come risultato $x>\frac{1}{\epsilon+1}$

No, hai sbagliato qualche calcolo, otterresti come risultato

$1/(1+epsilon)

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[Gian741]

Grazie @melia

dovremo quasi esserci

quindi se $\frac{1}{1+\epsilon}
$\frac{1}{\epsilon}
$\frac{1}{\epsilon}
è corretto dire che posso prendere una $x$ nell'intervallo $(\frac{1}{\epsilon},\infty)$ ?

grazie ancora.
Gianluca

[@melia]

"Gian74":è corretto dire che posso prendere una $x$ nell'intervallo $(\frac{1}{\epsilon},\infty)$ ?

se con "una" intendi una qualunque x, allora la risposta è sì