Limite di una funzione
scusate ma non riesco proprio a capire:
definendo x > 0 il lim 1/x con x-->+oo = 0
per dimostrare questo risultato utilizzo |f(x)-L|<ε
come soluzione trovo x>1/ε
Non riesco a capire che relazione c'è tra il risultato del limite 0 e x>1/ε
grazie
Gianluca
definendo x > 0 il lim 1/x con x-->+oo = 0
per dimostrare questo risultato utilizzo |f(x)-L|<ε
come soluzione trovo x>1/ε
Non riesco a capire che relazione c'è tra il risultato del limite 0 e x>1/ε
grazie
Gianluca
Risposte
Se non ho capito male, hai la funzione
$f:\RR^+\to\RR\qquad x\to\frac{1}{x}$
e vuoi verificare che
$lim_{x\to +\infty}f(x)=0$
giusto?
Se riguardi la definizione di limite vedrai
$\AA\epsilon\in\RR^+\EE\delta\in\RR^+tc(...)$
In questo caso, $\frac{1}{\epsilon}$ corrisponde a $\delta$
P.S. Piccolo consiglio per i prossimi post: dai un'occhiata qui http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html
$f:\RR^+\to\RR\qquad x\to\frac{1}{x}$
e vuoi verificare che
$lim_{x\to +\infty}f(x)=0$
giusto?
Se riguardi la definizione di limite vedrai
$\AA\epsilon\in\RR^+\EE\delta\in\RR^+tc(...)$
In questo caso, $\frac{1}{\epsilon}$ corrisponde a $\delta$
P.S. Piccolo consiglio per i prossimi post: dai un'occhiata qui http://www.matematicamente.it/forum/come-si-scrivono-le-formule-t26179.html

ciao daertu
intanto grazie per la risposta e per il consiglio
ok $\frac{1}{\epsilon}$ corrisponde a $\delta$ non riesco proprio a capire perchè questo verifichi $\lim_{x \to \infty}f(x)=0$
Grazie
Gianluca
intanto grazie per la risposta e per il consiglio

ok $\frac{1}{\epsilon}$ corrisponde a $\delta$ non riesco proprio a capire perchè questo verifichi $\lim_{x \to \infty}f(x)=0$
Grazie
Gianluca
fissiamo $epsilon>0$ piccolo a piacere e scriviamo la disequazione $|(1/x -0)|
risolvendo il sistema relativo alla diseq. in modulo
si avrà che $x<-1/epsilon$ o $x>1/epsilon$
poichè nella soluzione c'è un intorno di $+infty$, cioè $x>kepsilon$, il limite è verificato.
potresti provare numericamente ponendo, per esempio $epsilon=0,1$, la soluzione della disequazione :
$x<-10$ o $x>10$, il secondo intervallo è un intorno di $+infty$ !
spero che ti sia stata utile !
si avrà che $x<-1/epsilon$ o $x>1/epsilon$
poichè nella soluzione c'è un intorno di $+infty$, cioè $x>kepsilon$, il limite è verificato.
potresti provare numericamente ponendo, per esempio $epsilon=0,1$, la soluzione della disequazione :
$x<-10$ o $x>10$, il secondo intervallo è un intorno di $+infty$ !
spero che ti sia stata utile !
"Gian74":
Non riesco a capire che relazione c'è tra il risultato del limite 0 e x>1/ε
La relazione che devi cercare non è tra il risultato del limite e l'intervallo trovato, ma tra il valore a cui tende x e l'intervallo.
Poiché $x->+oo$ e gli intorni di $+oo$ sono delle semirette crescenti, hai trovato come risultato una semiretta crescente $x>1/epsilon$, quindi il limite è verificato
grazie per le vostre risposte
questo significa che per avere $f(x)<\frac{1}{\epsilon}$ devo scegliere un $x>10$
ma se per assurdo io sbagliassi il lmite dicendo $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=1$
avrei come risultato $x>\frac{1}{\epsilon+1}$
quindi pongo $\epsilon=0,1$ e trovo che $x>0,9$
da cosa capisco che il limite non è verificato.
mi scuso per queste domandi così banali, ma vorrei cercare di capire bene questo punto che mi sembra fondamentale.
potresti provare numericamente ponendo, per esempio $\epsilon= 0,1$ , la soluzione della disequazione :
$x<-10$ o $x>10$, il secondo intervallo è un intorno di $+infty$ !
questo significa che per avere $f(x)<\frac{1}{\epsilon}$ devo scegliere un $x>10$
ma se per assurdo io sbagliassi il lmite dicendo $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=1$
avrei come risultato $x>\frac{1}{\epsilon+1}$
quindi pongo $\epsilon=0,1$ e trovo che $x>0,9$
da cosa capisco che il limite non è verificato.
mi scuso per queste domandi così banali, ma vorrei cercare di capire bene questo punto che mi sembra fondamentale.
non hai solo la disequazione $x>\frac{1}{\epsilon+1}$ , ma anche $x>1/(1-epsilon)$ che dovresti risolvere graficamente a sistema e una volta trovata la soluzione potrai sostituire il valore $epsilon=0,1$ e ..... ah ricordati che la disequazione è fratta ed il suo denominatore è $x$
scusa, forse prima non mi sono spiegata bene... non ho ora il tempo di spiegarti meglio... magari stasera
ciao
scusa, forse prima non mi sono spiegata bene... non ho ora il tempo di spiegarti meglio... magari stasera
ciao
"Gian74":
grazie per le vostre risposte, ma se per assurdo io sbagliassi il lmite dicendo $\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=1$ avrei come risultato $x>\frac{1}{\epsilon+1}$
No, hai sbagliato qualche calcolo, otterresti come risultato
$1/(1+epsilon)
Grazie @melia
dovremo quasi esserci
quindi se $\frac{1}{1+\epsilon}
$\frac{1}{\epsilon}
$\frac{1}{\epsilon}
è corretto dire che posso prendere una $x$ nell'intervallo $(\frac{1}{\epsilon},\infty)$ ?
grazie ancora.
Gianluca
dovremo quasi esserci

quindi se $\frac{1}{1+\epsilon}
$\frac{1}{\epsilon}
$\frac{1}{\epsilon}
è corretto dire che posso prendere una $x$ nell'intervallo $(\frac{1}{\epsilon},\infty)$ ?
grazie ancora.
Gianluca
"Gian74":
è corretto dire che posso prendere una $x$ nell'intervallo $(\frac{1}{\epsilon},\infty)$ ?
se con "una" intendi una qualunque x, allora la risposta è sì
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