Limite di una funzione
Ciao a tutti avrei bisogno di ha mano con il limite seguente qualcuno può aiutarmi?
$\lim_{x \to \-infty} $ $ x^2-ln(1-x)+sinx $
A me verrebbe da dire che il limite non esiste in quanto il $\lim_{x \to \-infty} $ $sinx$ non esiste.
Non riesco a capire se anche questa può esssre considerata una forma indeterminata e in tal caso raccogliendo $x^2$ uscirebbe:
$ x^2(1-(ln(1-x)/x^2)+sin(x/x^2)$
È in questo caso mi uscirebbe $x^2(1-0+0) = infty $
Qualcuno mi può aiutare con risoluzione?
Grazie in anticipo
$\lim_{x \to \-infty} $ $ x^2-ln(1-x)+sinx $
A me verrebbe da dire che il limite non esiste in quanto il $\lim_{x \to \-infty} $ $sinx$ non esiste.
Non riesco a capire se anche questa può esssre considerata una forma indeterminata e in tal caso raccogliendo $x^2$ uscirebbe:
$ x^2(1-(ln(1-x)/x^2)+sin(x/x^2)$
È in questo caso mi uscirebbe $x^2(1-0+0) = infty $
Qualcuno mi può aiutare con risoluzione?
Grazie in anticipo
Risposte
Allora, ci sono diverse cose errate in quello che hai scritto.
Partiamo dalla più banale (e quindi per certi versi anche la più "grave"): se raccogli \(x^2\) da \(\sin x\), non ottieni mica \(\sin(\frac{x}{x^2})\), ma \(\frac{\sin x}{x^2}\).
Inoltre non esiste un teorema che afferma che date due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) definite in un intorno di \(x_0\), se il limite per \(x\to x_0\) di \(f(x)\) non esiste allora non esiste neanche il limite di \(f(x)+g(x)\).
Detto questo, se raccogli correttamente \(x^2\) dovresti riuscire a concludere...
Partiamo dalla più banale (e quindi per certi versi anche la più "grave"): se raccogli \(x^2\) da \(\sin x\), non ottieni mica \(\sin(\frac{x}{x^2})\), ma \(\frac{\sin x}{x^2}\).
Inoltre non esiste un teorema che afferma che date due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) definite in un intorno di \(x_0\), se il limite per \(x\to x_0\) di \(f(x)\) non esiste allora non esiste neanche il limite di \(f(x)+g(x)\).
Detto questo, se raccogli correttamente \(x^2\) dovresti riuscire a concludere...
Ok grazie.
Allora se raccolgo bene come mi hai suggerito
Mi uscirebbe
$x^2(1-(ln(1-x)/x)+(sinx/x^2) $
Sono bloccato ho un po’ di confusione mi potresti aiutare ad andare avanti?
Allora se raccolgo bene come mi hai suggerito
Mi uscirebbe
$x^2(1-(ln(1-x)/x)+(sinx/x^2) $
Sono bloccato ho un po’ di confusione mi potresti aiutare ad andare avanti?
Oppure non potrei svolgere cosi:
Semplifico $ ln(1-x) + sin(x) $ non essendo infiniti prevalenti. Mi rimane solo il polinomio $x^2$ è il risultato sarà infinito
È errato?
Semplifico $ ln(1-x) + sin(x) $ non essendo infiniti prevalenti. Mi rimane solo il polinomio $x^2$ è il risultato sarà infinito
È errato?
I due pezzi tra parentesi vanno a zero, il primo (quello del logaritmo) in virtù di un limite notevole, l'altro perchè il seno è una funzione limitata mentre \(x^2\) va a infinito. Quindi...
Ok grazie quindi i risultati é $ +infty $
Quindi in sostanza senza raccogliere posso trascurare il logaritmo naturale e il sin(x) perché il primo è infinito prevalente e l altro è limitato l. Perciò calcolare solo il limite di $x^2$ che mi darà +infinito. Sarebbe corretta anche questa modalità?
Quindi in sostanza senza raccogliere posso trascurare il logaritmo naturale e il sin(x) perché il primo è infinito prevalente e l altro è limitato l. Perciò calcolare solo il limite di $x^2$ che mi darà +infinito. Sarebbe corretta anche questa modalità?
"LAAN77":
Ok grazie quindi i risultati é $ +infty $
Quindi in sostanza senza raccogliere posso trascurare il logaritmo naturale e il sin(x) perché il primo è infinito prevalente e l altro è limitato l. Perciò calcolare solo il limite di $x^2$ che mi darà +infinito. Sarebbe corretta anche questa modalità?
Si, ma molto "pericolosa"... fai molta attenzione quando porli di infinito prevalente: come si sta discutendo in un'altro topic proprio in questo momento, il linguaggio disinvolto sul confronto tra infiniti può portare a grossi errori.
Giusto per fare un esempio, ma se ne potrebbero fare anche di più "sottili", questo limite quanto fa?
\(\lim_{x \to +\infty} (x-\log(x+e^{x^2}))\)
Siccome mi hai detto che bisogna far attenzione ora non so cosa fare onestamente. Se potresti continuare sarebbe perfetto così potrei capire il concetto.
Grazie mille gentilissimo
Grazie mille gentilissimo
Intanto mi era scappato un segno nella traccia: quella corretta è
\(\lim_{x \to +\infty} (x-\log(x+e^{x^2}))\)
(ho modificato il posto precedente; se fosse stato \(\log(x-e^{x^2}))\) non sarebbe stato possibile calcolare il limite a \(+\infty\) a causa del dominio del logaritmo).
Detto questo, utilizzando il linguaggio degli ordini di infinito si potrebbe essere tentati di dire: "x va a infinito più velocemente del logaritmo, quindi il limite è \(+\infty\)", sbagliando!
Procedendo con ordine si trova che
\(\lim_{x \to +\infty} (x-\log(x+e^{x^2}))=\lim_{x \to +\infty} (x-\log[e^{x^2}(\frac{x}{e^{x^2}}+1)])=\lim_{x \to +\infty} (x-\log[e^{x^2}])=\lim_{x \to +\infty} (x-{x^2}\log[e])=\lim_{x \to +\infty} (x^2[\frac{x}{x^2}-1])=\lim_{x \to +\infty} (-x^2)=-\infty\)
\(\lim_{x \to +\infty} (x-\log(x+e^{x^2}))\)
(ho modificato il posto precedente; se fosse stato \(\log(x-e^{x^2}))\) non sarebbe stato possibile calcolare il limite a \(+\infty\) a causa del dominio del logaritmo).
Detto questo, utilizzando il linguaggio degli ordini di infinito si potrebbe essere tentati di dire: "x va a infinito più velocemente del logaritmo, quindi il limite è \(+\infty\)", sbagliando!
Procedendo con ordine si trova che
\(\lim_{x \to +\infty} (x-\log(x+e^{x^2}))=\lim_{x \to +\infty} (x-\log[e^{x^2}(\frac{x}{e^{x^2}}+1)])=\lim_{x \to +\infty} (x-\log[e^{x^2}])=\lim_{x \to +\infty} (x-{x^2}\log[e])=\lim_{x \to +\infty} (x^2[\frac{x}{x^2}-1])=\lim_{x \to +\infty} (-x^2)=-\infty\)
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