Limite di una applicazione in un punto. Curiosità sull'esponente o indice di R
Salve a tutti ho un dubbio sicuramente banale ma che non riesco a risolvere da nessuna parte sul web e nei libri.
Sul libro che sto studiando, nel capitolo sui Limiti, per il limite di una applicazione in un punto c'è questa definizione ( credo proprio la definizione di limite )
Data un'applicazione $ f: A |-> R^q $ , con $ A sub R^p $ sia $ x_° in R^p $ un punto di accumulazione per $A$.
Si dice che $f$ tende ad un punto $ l in R^q $ quando $x$ tende a $ x_°$ ( rimanendo in $A$ e mantenendosi diverso da $x_°$ ) se per ogni intorno $ \mathcal(V) $ di $l$ esiste un intorno $ \mathcal(U) $ di $x_°$ tale che $ f (\mathcal(U)nn A -{ x_° })sub \mathcal(V) $.
Sapete a cosa si riferiscono le lettere q e p sulla lettera R? cioè cosa indicano $ R^q $ ed $ R^p $ e se potete spiegarmi il perchè di questa simbologia.
Grazie in anticipo a tutti
Sul libro che sto studiando, nel capitolo sui Limiti, per il limite di una applicazione in un punto c'è questa definizione ( credo proprio la definizione di limite )
Data un'applicazione $ f: A |-> R^q $ , con $ A sub R^p $ sia $ x_° in R^p $ un punto di accumulazione per $A$.
Si dice che $f$ tende ad un punto $ l in R^q $ quando $x$ tende a $ x_°$ ( rimanendo in $A$ e mantenendosi diverso da $x_°$ ) se per ogni intorno $ \mathcal(V) $ di $l$ esiste un intorno $ \mathcal(U) $ di $x_°$ tale che $ f (\mathcal(U)nn A -{ x_° })sub \mathcal(V) $.
Sapete a cosa si riferiscono le lettere q e p sulla lettera R? cioè cosa indicano $ R^q $ ed $ R^p $ e se potete spiegarmi il perchè di questa simbologia.
Grazie in anticipo a tutti
Risposte
Ciao.
Immagino che l'insieme $R$ sia, in realtà, l'insieme $RR$ dei numeri reali (mi si scusi per il gioco di parole...).
Comunque, in generale, dato un insieme non vuoto $A$ e un numero naturale $n$, il simbolo $A^n$ indica, normalmente, una potenza dell'insieme rispetto al prodotto cartesiano (per approfondire il prodotto cartesiano: vedi questo link), in questo modo:
$A^n=A xx A xx ... xx A$ (con $A$ moltiplicato cartesianalmente per sè stesso $n$ volte).
Più esplicitamente:
$A^n={(a_1,a_2,...,a_n):a_1,a_2,...,a_n in A}$
Saluti.
Immagino che l'insieme $R$ sia, in realtà, l'insieme $RR$ dei numeri reali (mi si scusi per il gioco di parole...).
Comunque, in generale, dato un insieme non vuoto $A$ e un numero naturale $n$, il simbolo $A^n$ indica, normalmente, una potenza dell'insieme rispetto al prodotto cartesiano (per approfondire il prodotto cartesiano: vedi questo link), in questo modo:
$A^n=A xx A xx ... xx A$ (con $A$ moltiplicato cartesianalmente per sè stesso $n$ volte).
Più esplicitamente:
$A^n={(a_1,a_2,...,a_n):a_1,a_2,...,a_n in A}$
Saluti.
grazie per la risposta ma ho ancora qualche dubbio.... Quindi $ q $ e $ p $ sono stati messi per dare l'idea che i vari intorni e punti del concetto di limite si trovano sugli assi cartesiani?
oppure indicano che nell'insieme $ R $ ci sono $ q $ e $ p $ sottoinsiemi o intervalli...come per dire che $ R $ è formato da infiniti ( cioè $ q $ o $ p $ indicano il numero degli intervalli o sottoinsiemi ) intervalli connessi tra di loro?
oppure indicano che nell'insieme $ R $ ci sono $ q $ e $ p $ sottoinsiemi o intervalli...come per dire che $ R $ è formato da infiniti ( cioè $ q $ o $ p $ indicano il numero degli intervalli o sottoinsiemi ) intervalli connessi tra di loro?
Ciao.
Credo che in questo caso non c'entri quello di cui avevo parlato nel mio post precedente (cioè la potenza cartesiana dell'insieme), quindi non comprendo molto bene nemmeno io che cosa si intenda indicare con il simbolo $R^p$.
Non ricordo di aver visto una simile notazione al di fuori del contesto da me accennato.
Saluti.
Credo che in questo caso non c'entri quello di cui avevo parlato nel mio post precedente (cioè la potenza cartesiana dell'insieme), quindi non comprendo molto bene nemmeno io che cosa si intenda indicare con il simbolo $R^p$.
Non ricordo di aver visto una simile notazione al di fuori del contesto da me accennato.
Saluti.
Grazie cmq 
se qualcuno sa il significato delle 2 notazioni o le ha viste da qualche parte e ne conosce il significato lo ringrazio anticipatamente.... quelle notazioni sono utilizzate su tutti i teoremi per la continuità dove dice che : ... funzioni continue definite in un sottoinsieme di $ R^p$ e a valori in $ R^q$ .... sono usate anche per il ''teorema di composizione'' dove compare oltre a $ R^ p$ ed $ R^ q $ anche $ R^r $ ...
se qualcuno sa il significato delle 2 notazioni o le ha viste da qualche parte e ne conosce il significato lo ringrazio anticipatamente.... quelle notazioni sono utilizzate su tutti i teoremi per la continuità dove dice che : ... funzioni continue definite in un sottoinsieme di $ R^p$ e a valori in $ R^q$ .... sono usate anche per il ''teorema di composizione'' dove compare oltre a $ R^ p$ ed $ R^ q $ anche $ R^r $ ...
"pell":
grazie per la risposta ma ho ancora qualche dubbio.... Quindi $ q $ e $ p $ sono stati messi per dare l'idea che i vari intorni e punti del concetto di limite si trovano sugli assi cartesiani?
oppure indicano che nell'insieme $ R $ ci sono $ q $ e $ p $ sottoinsiemi o intervalli...come per dire che $ R $ è formato da infiniti ( cioè $ q $ o $ p $ indicano il numero degli intervalli o sottoinsiemi ) intervalli connessi tra di loro?
Ciao.
Ripensandoci... ora sono quasi sicuro che con $R^p$ si intenda proprio l'insieme
$RR^p={(x_1,x_2,...,x_p):x_1,x_2,...,x_p in RR}$ (discorso analogo per $R^q=RR^q$)
purchè si stiano trattando funzioni definite in contesti non unidimensionali.
Credo che la funzione di cui si parla sia di questo tipo:
$ f: A rightarrow RR^q$, con $A sub RR^p$
con $f(x_1,x_2,...,x_p)=(f_1(x_1,x_2,...,x_p),f_2(x_1,x_2,...,x_p),...f_q(x_1,x_2,...,x_p))$
Esempio con $p=2$ e $q=3$
$f(x,y)=(x-y,x+y,xy)$
naturalmente in questo esempio vale:
$x_1=x$
$x_2=y$
$f_1(x_1,x_2)=x-y$
$f_2(x_1,x_2)=x+y$
$f_3(x_1,x_2)=xy$
Dovremmo essere a posto.
Saluti.
Siii così ha senso 
grazie mille Alessandro...grande!!!!
grazie mille Alessandro...grande!!!!
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
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