Limite di un rapporto di due successioni
Perchè $\lim_{n \to \infty}n/(root(n)(n!))=e$ ?
Il prof. lo ha dimostrato con il criterio del rapporto mi sembra ma non riesco a risalire alla dimostrazione...
L'unica cosa che posso dire su questo limite è che so che $\lim_{n \to \infty}root(n)(n!)$ è uguale a infinito perchè la radice ennesima di n fattoriale è la media geometrica di n, ma detto questo non saprei come procedere..
Il prof. lo ha dimostrato con il criterio del rapporto mi sembra ma non riesco a risalire alla dimostrazione...
L'unica cosa che posso dire su questo limite è che so che $\lim_{n \to \infty}root(n)(n!)$ è uguale a infinito perchè la radice ennesima di n fattoriale è la media geometrica di n, ma detto questo non saprei come procedere..
Risposte
Immagino che il tuo professore abbia usato il seguente criterio:
A questo punto ti basta applicare questo criterio alla successione \(a_n := \frac{n^n}{n!}\).
Se \((a_n)\) è una successione a termini positivi, ed esiste \(\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} = l \in [0,+\infty]\), allora \(\lim_n \sqrt[n]{a_n} = l\).
A questo punto ti basta applicare questo criterio alla successione \(a_n := \frac{n^n}{n!}\).
mmm allora ho raggiunto con successo il risultato e applicando il cirterio del rapporto alla successione da te suggeritami ( bastava elevare a n 
ma non ci avevo fatto caso..)
Ottengo $e$ che però è un numero maggiore di 1, per cui( in base sempre al criterio del rapporto) tale limite non dovrebbe fare +infinito?
Insomma il criterio del rapporto mi fa arrivare sempre a solo due risultati: 0 oppure +infinito, la successione in questione quindi non può convergere ad $e$ ma a infinito..
Temo di continuare a non capire
ma non ci avevo fatto caso..)Ottengo $e$ che però è un numero maggiore di 1, per cui( in base sempre al criterio del rapporto) tale limite non dovrebbe fare +infinito?
Insomma il criterio del rapporto mi fa arrivare sempre a solo due risultati: 0 oppure +infinito, la successione in questione quindi non può convergere ad $e$ ma a infinito..
Temo di continuare a non capire
"login":
Temo di continuare a non capire
Non capisco nemmeno io: basta applicare il criterio che ho riportato nel mio primo post.
Il professore senza dimostrarlo ha detto che se usavamo il criterio del rapporto se il risultato che ottenevamo era inferiore a 1 allora il limite di partenza valeva 0, se il risultato ottenuto era superiore a 1 allora il limite di partenza valeva infinto..
Usando il criterio del rapporto ottengo che la successione $(a_(n+1))/(a_n)$ è uguale a $e$ che è un numero superiore a 1.. per cui la successione $a_n$ non è uguale ad $e$ ma a + infinito ....
Usando il criterio del rapporto ottengo che la successione $(a_(n+1))/(a_n)$ è uguale a $e$ che è un numero superiore a 1.. per cui la successione $a_n$ non è uguale ad $e$ ma a + infinito ....
Tu ti riferisci ad un altro criterio del rapporto (non a quello da me riportato):
In effetti non mi sembra che questo serva a molto per il calcolo del limite in questione.
Sia \((a_n)\) una successione a termini positivi e supponiamo che esista \(\lim_n \frac{a_{n+1}}{a_n} = l\). Allora, se \(l<1\) la successione converge a \(0\), mentre se \(l>1\) la successione diverge a \(+\infty\).
In effetti non mi sembra che questo serva a molto per il calcolo del limite in questione.
@Login.
Non far confusione tra gli enti cui appliche i teoremi,
ed osserva dunque che $EElim_(n to oo)((n+1)/(root(n+1)((n+1)"!")))/(n/(root(n)n"!"))=..=1$:
ecco perchè il metodo da te citato fallisce,per il limite assegnato,
ed è dunque il caso di un'altra via
(come quella suggerita da Rigel,per la quale t'è necessario veder scritta la successione data nella forma $a_n=root(n)((n^n)/(n"!"))$,
per poi notare come,proprio in forza del teorema da lui citato,si ha che $EElim_(n to oo)a_n=lim_(n to oo)(((n+1)^(n+1))/((n+1)"!"))/((n^n)/(n"!"))=..=e$..)!
Non far confusione tra gli enti cui appliche i teoremi,
ed osserva dunque che $EElim_(n to oo)((n+1)/(root(n+1)((n+1)"!")))/(n/(root(n)n"!"))=..=1$:
ecco perchè il metodo da te citato fallisce,per il limite assegnato,
ed è dunque il caso di un'altra via
(come quella suggerita da Rigel,per la quale t'è necessario veder scritta la successione data nella forma $a_n=root(n)((n^n)/(n"!"))$,
per poi notare come,proprio in forza del teorema da lui citato,si ha che $EElim_(n to oo)a_n=lim_(n to oo)(((n+1)^(n+1))/((n+1)"!"))/((n^n)/(n"!"))=..=e$..)!
Ah! ora capisco! è che il prof li aveva chiamati sempre con lo stesso nome e aveva fatto due esempi l'uno dopo l'altro...
Insomma sono due cose diverse, e difatti se con il criterio del rapporto si ottiene 1 non si può dir nulla sul rapporto id successioni perciò si ricorre al teorema citato da Rigel..
Giusto una curiosità ma il teorema che ha usato Rigel come si dimostra? C'entra qualcosa la media geometrica?
Insomma sono due cose diverse, e difatti se con il criterio del rapporto si ottiene 1 non si può dir nulla sul rapporto id successioni perciò si ricorre al teorema citato da Rigel..
Giusto una curiosità ma il teorema che ha usato Rigel come si dimostra? C'entra qualcosa la media geometrica?
Si,esattamente:
basta applicare quel teorema alla successione di termine generale $b_n={ (a_1" se n=1"),((a_n)/(a_(n-1))" se n>1"):}$.
Saluti dal web.
basta applicare quel teorema alla successione di termine generale $b_n={ (a_1" se n=1"),((a_n)/(a_(n-1))" se n>1"):}$.
Saluti dal web.
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