Limite di un integrale improprio
Buongiorno a tutti, sono nuovo e questo è il mio primo messaggio sul forum, scrivo per risolvere un dubbio sorto con il seguente limite:
\[ \lim_{x \to \infty} x^\alpha \int_x^\infty \tan \left [ \frac{(\sqrt{t}+t)e^t}{t^3\sinh(t)+e^{-t}} \right ]\ \text{d} t \]
La richiesta dell'esercizio è determinare il valore di \( \alpha \in \mathbb{R} \) tale che il sopracitato limite esista finito e sia diverso da zero.
Il dubbio si riferisce all'integrale improprio: ho considerato che per \( x \to \infty \) esso tenderà a zero avendo gli estremi di integrazione uguali, perciò la risposta dovrebbe essere che tale \( \alpha \) non esiste.
La soluzione dell'esercizio invece riporta \( \alpha = 1 \), quindi la mia domanda è: come si procede in questi casi?
L'idea che mi è venuta, se l'integrale fosse davvero nullo, è di usare la regola di De l'Hôpital per togliere l'integrale dal calcolo. Ha senso?
Grazie mille anticipatamente a tutti!
\[ \lim_{x \to \infty} x^\alpha \int_x^\infty \tan \left [ \frac{(\sqrt{t}+t)e^t}{t^3\sinh(t)+e^{-t}} \right ]\ \text{d} t \]
La richiesta dell'esercizio è determinare il valore di \( \alpha \in \mathbb{R} \) tale che il sopracitato limite esista finito e sia diverso da zero.
Il dubbio si riferisce all'integrale improprio: ho considerato che per \( x \to \infty \) esso tenderà a zero avendo gli estremi di integrazione uguali, perciò la risposta dovrebbe essere che tale \( \alpha \) non esiste.
La soluzione dell'esercizio invece riporta \( \alpha = 1 \), quindi la mia domanda è: come si procede in questi casi?
L'idea che mi è venuta, se l'integrale fosse davvero nullo, è di usare la regola di De l'Hôpital per togliere l'integrale dal calcolo. Ha senso?
Grazie mille anticipatamente a tutti!
Risposte
Ciao Crowld,
Benvenuto sul forum!
Sì ha senso, ma devi riscrivere il limite in modo da poter applicare la regola di De l'Hôpital, cioè nel modo seguente:
$\lim_{x \to +\infty} x^\alpha \int_x^{+\infty} \tan[\frac{(\sqrt{t}+t)e^t}{t^3\sinh(t)+e^{-t}}]\text{d}t = \lim_{x \to +\infty} \frac{\int_x^{+\infty} \tan[\frac{(\sqrt{t}+t)e^t}{t^3\sinh(t)+e^{-t}}]\text{d}t}{(1/x)^\alpha} \stackrel[H]{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\tan[\frac{(\sqrt{x}+x)e^x}{x^3\sinh(x)+e^{-x}}]}{-\alpha(1/x)^{\alpha + 1}} $
Per $\alpha = 1 $ si ha $ \lim_{x \to +\infty} \frac{\tan[\frac{(\sqrt{x}+x)e^x}{x^3\sinh(x)+e^{-x}}]}{-(1/x)^2} = - 2 $
Benvenuto sul forum!
"Crowld":
L'idea che mi è venuta, se l'integrale fosse davvero nullo, è di usare la regola di De l'Hôpital per togliere l'integrale dal calcolo. Ha senso?
Sì ha senso, ma devi riscrivere il limite in modo da poter applicare la regola di De l'Hôpital, cioè nel modo seguente:
$\lim_{x \to +\infty} x^\alpha \int_x^{+\infty} \tan[\frac{(\sqrt{t}+t)e^t}{t^3\sinh(t)+e^{-t}}]\text{d}t = \lim_{x \to +\infty} \frac{\int_x^{+\infty} \tan[\frac{(\sqrt{t}+t)e^t}{t^3\sinh(t)+e^{-t}}]\text{d}t}{(1/x)^\alpha} \stackrel[H]{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\tan[\frac{(\sqrt{x}+x)e^x}{x^3\sinh(x)+e^{-x}}]}{-\alpha(1/x)^{\alpha + 1}} $
Per $\alpha = 1 $ si ha $ \lim_{x \to +\infty} \frac{\tan[\frac{(\sqrt{x}+x)e^x}{x^3\sinh(x)+e^{-x}}]}{-(1/x)^2} = - 2 $
Ciao, benvenuto!
Questo è falso, la proprietà che $\int_a^a f(x)\text{d}x=0$ è vera per $a$ reale e $\infty$ non è un numero reale.
Puoi costruire vari controesempi per capire che non vale, uno dei più semplici è il seguente:
$$\lim_{y \to \infty} \int_y^{y+1} 1 \text{d}x=\lim_{y \to \infty} [x]_{y}^{y+1}=\lim_{y \to \infty}(y+1-y)=\lim_{y \to \infty} 1 =1$$
@pilloeffe: Credo che il risultato sia $2$ e non $-2$, perché per derivare la funzione integrale e ottenere la funzione integranda valutata in $x$ bisogna avere come estremo superiore di integrazione $x$ e quindi va scritto $\int_x^{\infty} f(t) \text{d}t=-\int_{\infty}^x f(t) \text{d}t$; inoltre, dato che per $x\to\infty$ l'argomento della tangente tende a $0^+$, la tangente è definitivamente positiva e quindi il limite è almeno non negativo. Ma è tardi e potrei aver preso una cantonata
.
"Crowld":
ho considerato che per \( x \to \infty \) esso tenderà a zero avendo gli estremi di integrazione uguali
Questo è falso, la proprietà che $\int_a^a f(x)\text{d}x=0$ è vera per $a$ reale e $\infty$ non è un numero reale.
Puoi costruire vari controesempi per capire che non vale, uno dei più semplici è il seguente:
$$\lim_{y \to \infty} \int_y^{y+1} 1 \text{d}x=\lim_{y \to \infty} [x]_{y}^{y+1}=\lim_{y \to \infty}(y+1-y)=\lim_{y \to \infty} 1 =1$$
@pilloeffe: Credo che il risultato sia $2$ e non $-2$, perché per derivare la funzione integrale e ottenere la funzione integranda valutata in $x$ bisogna avere come estremo superiore di integrazione $x$ e quindi va scritto $\int_x^{\infty} f(t) \text{d}t=-\int_{\infty}^x f(t) \text{d}t$; inoltre, dato che per $x\to\infty$ l'argomento della tangente tende a $0^+$, la tangente è definitivamente positiva e quindi il limite è almeno non negativo. Ma è tardi e potrei aver preso una cantonata
.
Ciao Mephlip,
Grazie per la correzione. No, la cantonata l'ho presa io (vista l'ora alla quale ho risposto...
)
Correggo i passaggi qui di seguito:
$ \lim_{x \to +\infty} x^\alpha \int_x^{+\infty} \tan[\frac{(\sqrt{t}+t)e^t}{t^3\sinh(t)+e^{-t}}]\text{d}t = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{- \int_{+\infty}^x \tan[\frac{(\sqrt{t}+t)e^t}{t^3\sinh(t)+e^{-t}}]\text{d}t}{(1/x)^\alpha} \stackrel[H]{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\tan[\frac{(\sqrt{x}+x)e^x}{x^3\sinh(x)+e^{-x}}]}{\alpha(1/x)^{\alpha + 1}} $
Per $\alpha = 1 $ si ha $ \lim_{x \to +\infty} \frac{\tan[\frac{(\sqrt{x}+x)e^x}{x^3\sinh(x)+e^{-x}}]}{(1/x)^2} = 2 $
"Mephlip":
Ma è tardi e potrei aver preso una cantonata
Grazie per la correzione. No, la cantonata l'ho presa io (vista l'ora alla quale ho risposto...
)Correggo i passaggi qui di seguito:
$ \lim_{x \to +\infty} x^\alpha \int_x^{+\infty} \tan[\frac{(\sqrt{t}+t)e^t}{t^3\sinh(t)+e^{-t}}]\text{d}t = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{- \int_{+\infty}^x \tan[\frac{(\sqrt{t}+t)e^t}{t^3\sinh(t)+e^{-t}}]\text{d}t}{(1/x)^\alpha} \stackrel[H]{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\tan[\frac{(\sqrt{x}+x)e^x}{x^3\sinh(x)+e^{-x}}]}{\alpha(1/x)^{\alpha + 1}} $
Per $\alpha = 1 $ si ha $ \lim_{x \to +\infty} \frac{\tan[\frac{(\sqrt{x}+x)e^x}{x^3\sinh(x)+e^{-x}}]}{(1/x)^2} = 2 $
Scusate il ritardo nella risposta, vi ringrazio tantissimo per l'aiuto e la disponibilità!
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