Limite di un integrale definito
Buongiorno a tutti, volevo un aiuto sulla risoluzione di questo limite in quanto non combacia il mio risultato con quello datomi dall'esercizio. Grazie in anticipo.
$ lim_(n -> +oo ) int_(0)^(pi ) (x(pi-x))^n /(1+(x(pi-x))^n) dx $
$ lim_(n -> +oo ) int_(0)^(pi ) (x(pi-x))^n /(1+(x(pi-x))^n) dx $
Risposte
Ho svolto l'esercizio spezzando e studiando la mia funzione da integrare al tendere di n a $ oo $.
Negli intervalli $ (0,1/2(pi-sqrt(pi^2-4))) $ e $ (1/2(pi+sqrt(pi^2-4)),pi) $ la base dell'esponente è $ <1 $ quindi la mia funzione, in quell'intervallo, tenderà a $ 0 $. Per i singoli punti $ 1/2(pi-sqrt(pi^2-4)) $ e $ 1/2(pi+sqrt(pi^2-4)) $ la base vale $ 1 $ quindi la funzione sarà costante al valore $ 1/2 $ . Infine nell'intervallo rimanente $ (0,1/2(pi-sqrt(pi^2-4)),1/2(pi+sqrt(pi^2-4))) $ la base è $ >1 $ quindi la mia funzione tenderà al valore $ 1 $.
Potrò quindi scrivere il mio integrale come $ int_(0)^(1/2(pi-sqrt(pi^2-4))) 0 dx + int_(1/2(pi-sqrt(pi^2-4)))^(1/2(pi-sqrt(pi^2-4))) 1/2 dx +int_(1/2(pi-sqrt(pi^2-4)))^(1/2(pi+sqrt(pi^2-4))) 1 dx +int_(1/2(pi+sqrt(pi^2-4)))^(1/2(pi+sqrt(pi^2-4))) 1/2 dx +int_(1/2(pi+sqrt(pi^2-4)))^(pi) 0 dx $
Arrivando alla conclusione che il mio limite tende al valore $1/2(pi+sqrt(pi^2-4))-1/2(pi-sqrt(pi^2-4))= sqrt(pi^2-4) $
L'esercizio invece mi dà come risultato il valore $1/2(pi+sqrt(pi^2-4)) $ secondo voi ho sbagliato qualcosa?
Negli intervalli $ (0,1/2(pi-sqrt(pi^2-4))) $ e $ (1/2(pi+sqrt(pi^2-4)),pi) $ la base dell'esponente è $ <1 $ quindi la mia funzione, in quell'intervallo, tenderà a $ 0 $. Per i singoli punti $ 1/2(pi-sqrt(pi^2-4)) $ e $ 1/2(pi+sqrt(pi^2-4)) $ la base vale $ 1 $ quindi la funzione sarà costante al valore $ 1/2 $ . Infine nell'intervallo rimanente $ (0,1/2(pi-sqrt(pi^2-4)),1/2(pi+sqrt(pi^2-4))) $ la base è $ >1 $ quindi la mia funzione tenderà al valore $ 1 $.
Potrò quindi scrivere il mio integrale come $ int_(0)^(1/2(pi-sqrt(pi^2-4))) 0 dx + int_(1/2(pi-sqrt(pi^2-4)))^(1/2(pi-sqrt(pi^2-4))) 1/2 dx +int_(1/2(pi-sqrt(pi^2-4)))^(1/2(pi+sqrt(pi^2-4))) 1 dx +int_(1/2(pi+sqrt(pi^2-4)))^(1/2(pi+sqrt(pi^2-4))) 1/2 dx +int_(1/2(pi+sqrt(pi^2-4)))^(pi) 0 dx $
Arrivando alla conclusione che il mio limite tende al valore $1/2(pi+sqrt(pi^2-4))-1/2(pi-sqrt(pi^2-4))= sqrt(pi^2-4) $
L'esercizio invece mi dà come risultato il valore $1/2(pi+sqrt(pi^2-4)) $ secondo voi ho sbagliato qualcosa?
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