Limite di un integrale

[gbspeedy]

Devo calcolare due limiti:
$ lim_(n -> oo) int_(1)^(e) (log x)^n dx $
$ lim_(n -> oo) int_(1)^(3) (log x)^n dx $
il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale non posso usarlo perchè la successione non converge uniformemente

[gbspeedy]

posso dire che $int_(1)^(e) (logx)^n dx < int_(1)^(e) x^n dx$?

[theras]

Hai già provato a calcolare,per induzione,$int_0^1 t^n e^t dt$
(ad occhio mi pare che andrebbe bene pure se l'estremo superiore d'integrazione fosse $"log"3$..)?
Saluti dal web.

[Rigel1]

Per il primo sfrutterei la concavità del logaritmo:
\[
\log x \leq \log e + (\log' e) \cdot (x-e) = \frac{x}{e}\,,\qquad \forall x>0.
\]
Per il secondo, invece, sfrutterei la concavità del logaritmo (ogni tanto ci vuole un'idea originale ):
\[
\log x \geq \frac{\log 3}{2} \cdot (x-1),\qquad \forall x\in [1,3].
\]

[gbspeedy]

quindi il primo integrale diventerebbe $<=int_(1)^(e) (x/e)^n dx$?

[Rigel1]

Sì (dunque dovrebbe essere facile calcolarne il limite per confronto).