Limite di successioni
Dimostrare che se {a_n} e {b_n} sono 2 successioni positive tali che limite di (a_n/b_n) per n che tende a infinito è uguale a 0, allora vale la seguente implicazione:
se il limite di (n*b_n) per n che tende a infinito è uguale a 0, allora il limite di (n*a_n) per n che tende a infinito è uguale a 0.
Posto solo un piccolo esempio che verifica quella implicazione: b_n = 1/n^2 e a_n = 1/n^3.
Grazie per chi lo proverà a risolverlo.
se il limite di (n*b_n) per n che tende a infinito è uguale a 0, allora il limite di (n*a_n) per n che tende a infinito è uguale a 0.
Posto solo un piccolo esempio che verifica quella implicazione: b_n = 1/n^2 e a_n = 1/n^3.
Grazie per chi lo proverà a risolverlo.
Risposte
Il risultato è vero anche chiedendo solo che $(n b_n)$ sia una successione limitata.
Ti basta infatti scrivere così:
$n a_n = (n b_n)\cdot \frac{a_n}{b_n}$.
Se $(n b_n)$ è limitata e $\frac{a_n}{b_n}\to 0$, il secondo membro tende a $0$.
Ti basta infatti scrivere così:
$n a_n = (n b_n)\cdot \frac{a_n}{b_n}$.
Se $(n b_n)$ è limitata e $\frac{a_n}{b_n}\to 0$, il secondo membro tende a $0$.
Guarda:
$\lim_{n \to \infty}n*a_n=\lim_{n \to \infty}n*(a_n/b_n)*b_n=\lim_{n \to \infty}n*b_n*a_n/b_n$
Ma $n*b_n$ tende a 0, $a_n/b_n$ tende a 0, e quindi il tutto tende a 0
$\lim_{n \to \infty}n*a_n=\lim_{n \to \infty}n*(a_n/b_n)*b_n=\lim_{n \to \infty}n*b_n*a_n/b_n$
Ma $n*b_n$ tende a 0, $a_n/b_n$ tende a 0, e quindi il tutto tende a 0
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