Limite di successioni

[Matteo3213d]

Buongiorno,
mi potreste dire dove ho sbagliato con questo limite?
$ lim_(n -> +oo) [(n^2-n-1)/(n^2+1)]^n+[(-1)^n/(n)] $

$ lim_(n -> +oo) [(n^2-n)/(n^2)]^n+[(-1)^n/(n)] $

$ lim_(n -> +oo) [1-1/n]^n+[(-1)^n/(n)] $

Considero il caso con indice pari:

$ lim_(n -> +oo) [1-1/(2n)]^(2n)+1/(2n) = 1 $

Indice dispari:
$ lim_(n -> +oo) [1-1/(2n+1)]^(2n+1)-1/(2n+1) = 1 $
Grazie.

[Alino1]

Ciao! Sto cercando di capire i passaggi iniziali, però mi viene subito da osservare che i due limiti in fondo non vanno bene. Come fai a dire che valgono 1?

[Matteo3213d]

$ lim_(n -> +oo) [(n^2-n-1)/(n^2+1)]^n+[(-1)^n/(n)] $
Ho eliminato le costanti -1 e +1 visto che non influenzano il numeratore e il denominatore, poiché quest'ultimi tendono a $+oo$

[pilloeffe]

Ciao Matteo3213d,

Comunque il risultato del limite proposto è errato perché si ha:

$\lim_{n \to +\infty} [((n^2-n-1)/(n^2+1))^n+(-1)^n/(n)] = 1/e $

[Alino1]

In realtà credo che non si possano eliminare così a cuor leggero il $+1$ e il $-1$, anche se in questo caso, come diceva il mio professore, il risultato "viene lo stesso"
Per esempio se calcoliamo $\lim_{n \to \infty}((n+1)/(n-1))^n$ e pensiamo di togliere le costanti, otteniamo un risultato diverso. Perciò mi sto ancora chiedendo come si possa risolvere, fermo restando che i limiti che hai scritto in fondo sono sbagliati. L'idea è di trasformare l'espressione nel limite notevole dell'esponenziale.

[Matteo3213d]

Quindi, abbiamo:
$ lim_(n -> +oo) [1-1/(2n)]^(2n)+1/(2n) = 1 $
y = 2n
$ lim_(y -> +oo) [1-1/(y)]^(y)+1/(y) = $
$ = lim_(y -> +oo) [1+1/(-y)]^((-y)^-1)+1/(y) = e^-1$
Lo stesso vale per il limite di indice dispari.

[pilloeffe]

Ciao Alino,

"Alino":Perciò mi sto ancora chiedendo come si possa risolvere [...]

Beh, il secondo addendo è una successione limitata divisa per $n $ quindi il limite risulta $0$; per la prima parte

"Matteo3213d":Ho eliminato le costanti -1 e +1 visto che non influenzano il numeratore e il denominatore

Si può fare anche così come ha scritto Matteo3231d, ma comunque il risultato di quel limite è $1/e $ e non 1...

[Alino1]

"pilloeffe":
Si può fare anche così come ha scritto Matteo3231d, ma comunque il risultato di quel limite è $1/e $ e non 1...

Come fai a giustificare il fatto di trascurare il $+1$ e il $-1$? Non è una domanda provocatoria, ma vorrei capire perché si può fare, dato che l'esempio che ho proposto sopra mostra che non è una cosa valida in generale. In merito al risultato del limite sono d'accordo, tant'è che lo avevo già detto nel primo messaggio di risposta. Ti sarei grato se sapessi motivarmi il passaggio, grazie!

[Alino1]

Mentre aspetto che qualcuno chiarisca il mio dubbio, propongo un metodo per risolvere l'esercizio. Concentrandoci sul primo addendo (dato che sul secondo non ci sono problemi) possiamo scrivere:

$((n^2-n-1)/(n^2+1))^n=e^(ln((n^2-n-1)/(n^2+1))^n)=e^(nln((n^2-n-1)/(n^2+1)))$.

Quindi in pratica dovremmo calcolare:

$\lim_{n \to \+infty}e^(nln((n^2-n-1)/(n^2+1)))=e^(\lim_{n \to \+infty}(nln((n^2-n-1)/(n^2+1))))$.

Ora:

$\lim_{n \to \+infty}nln((n^2-n-1)/(n^2+1))=\lim_{n \to \+infty}nln(1-(n+2)/(n^2+1))=-1$

dove nel penultimo passaggio si può forse usare lo sviluppo del logaritmo ma non ne sono sicuro, e perciò concludere che il limite iniziale fa $e^(-1)$.

[pilloeffe]

"Alino":Ora:

$ \lim_{n \to +\infty}nln((n^2-n-1)/(n^2+1))= \lim_{n \to +\infty}nln(1-(n+2)/(n^2+1))=$

Riprendo da dove sei arrivato:

$ \lim_{n \to +\infty} n ln(1-(n+2)/(n^2+1)) = \lim_{n \to +\infty} ln(1-(n+2)/(n^2+1))/(-(n+2)/(n^2+1)) \cdot (-(n^2+2n)/(n^2+1)) = 1 \cdot (- 1) = - 1 $

ove si è fatto uso del ben noto limite notevole del logaritmo.
Facendo poi riferimento al solo primo addendo del limite iniziale proposto, si ha:

$\lim_{n \to +\infty} ((n^2-n-1)/(n^2+1))^n = \lim_{n \to +\infty} ((n^2 + 1 - n - 2)/(n^2+1))^n = \lim_{n \to +\infty} (1 - (n + 2)/(n^2+1))^n = $
$ = \lim_{n \to +\infty} (1 + 1/(-(n^2+1)/(n + 2)))^n = \lim_{n \to +\infty} [(1 + 1/(-(n^2+1)/(n + 2)))^{-(n^2+1)/(n + 2)}]^{-(n^2 + 2n)/(n^2+1)} = e^{- 1} = 1/e $

ove si è fatto uso del ben noto limite notevole talvolta chiamato di Nepero, anche se in realtà $e $ era già nota ad Eulero (ed il fatto che sia denominata $e $ qualche indizio in tal senso dovrebbe pur darlo... ).
A questo punto ricominciamo da capo:

$\lim_{n \to +\infty} ((n^2-n-1)/(n^2+1))^n = \lim_{n \to +\infty} ((n^2-(n+1))/(n^2+1))^n $

E' evidente che se $n \to +\infty $ i contributi dei due $1$ a numeratore e a denominatore sono trascurabili rispetto a $ n $ e a maggior ragione a $n^2$ (se vuoi convincertene meglio puoi anche raccogliere $n^2 $ al numeratore e al denominatore), quindi si può scrivere:

$ \lim_{n \to +\infty} ((n^2-(n+1))/(n^2+1))^n = \lim_{n \to +\infty} ((n^2-n)/(n^2))^n = \lim_{n \to +\infty} (1 - 1/n)^n = \lim_{n \to +\infty} [(1 - 1/n)^{- n}]^{- 1} = e^{- 1} = 1/e $

ove si è fatto ancora uso del ben noto limite notevole talvolta chiamato di Nepero già menzionato. Come vedi, comunque la si giri il risultato del limite è $e^-1 = 1/e $. Lascio a te per esercizio l'altra strada, cioè fare uso della tua proposta di soluzione che ho completato poco sopra unita al trascurare i contributi dei due $1$ a numeratore e a denominatore di cui ha scritto Matteo3231d: naturalmente otterrai lo stesso risultato.

[Alino1]

Ti ringrazio per la risposta, sono d'accordo con quello che hai scritto anche perché avevo svolto i calcoli nello stesso modo, senza esplicitare tutto. Concordo anche con l'utilizzo del limite notevole. Resto comunque dubbioso ancora sul fatto di trascurare il $+1$ e il $-1$, dato che mi hai dato come motivazione che "è evidente". Ripropongo la mia domanda, ovvero perché questa cosa non funziona nel limite $\lim_{n \to \infty} ((n+1)/(n-1))^n$.

[pilloeffe]

"Alino":Resto comunque dubbioso ancora sul fatto di trascurare il $+1$ e il $−1$, dato che mi hai dato come motivazione che "è evidente". Ripropongo la mia domanda, ovvero perché questa cosa non funziona nel limite $\lim_{n \to +\infty}((n+1)/(n−1))^n $.

Perché gli infinitesimi non sono irrilevanti per pervenire al risultato corretto di un limite, non si possono trascurare incautamente. Provo a spiegarmi meglio, partendo prima dal limite in questione, poi da quello che proponi tu, per poi concludere con uno ben noto...

$ \lim_{n \to +\infty} ((n^2-n-1)/(n^2+1))^n = \lim_{n \to +\infty} ((1-1/n-1/n^2)/(1+1/n^2))^n $

In questo caso trascurare il $-1$ a numeratore ed il $+1$ a denominatore equivale a trascurare un $o(1/n^2) $ rispetto ad un $o(1/n) $, ma comunque resta $o(1/n) $ a numeratore, rilevante per pervenire al risultato corretto del limite.

Vediamo ora perché quello cha abbiamo detto per il limite precedente "non funziona" come giustamente asserisci per il limite che proponi:

$\lim_{n \to \infty} ((n+1)/(n-1))^n = \lim_{n \to \infty} ((1+1/n)/(1-1/n))^n $

Se seguendo il tuo ragionamento incautamente trascuriamo gli $1$, dal limite proposto scompaiono del tutto gli $o(1/n)$ ed il risultato che ne consegue è $1$ che è errato. Perché? Prova a pensare al cosiddetto limite di Nepero:

$ e = \lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n = \lim_{n \to \infty} ((n + 1)/n)^n = \lim_{n \to \infty} ((1 + 1/n)/1)^n$

Cosa succede se seguendo il tuo ragionamento incautamente trascuriamo $1$ rispetto a $n$ al numeratore, visto che $n \to +infty$, ovvero $1/n $ nel passaggio successivo? Che scompare $o(1/n) $ ed il risultato del limite di Nepero sarebbe $ e = 1 $ che sappiamo essere falso.
Invece per il limite che hai proposto si ha:

$\lim_{n \to \infty} ((n+1)/(n-1))^n = e^2 $

Trascurando gli $o$ a numeratore e a denominatore invece otterresti come risultato $1$, mentre trascurando l'$o$ al numeratore oppure quello a denominatore otterresti come risultato in entrambi i casi $e$...