Limite di successioni
Buongiorno, avrei bisogno di aiuto per la risoluzione del seguente esercizio
$ lim_(n->infty)(e^(-1/n)/n-e^(1/n)/n)/(log(1+n)-logn $
Andando a fare i calcoli si ottiene $ 0/(infty-infty $ , dunque dovrebbe essere una forma indeterminata
Lavorandoci un po sono arrivato fino a questo punto $ lim_(n->infty) (1-e^(1/n))/(n(log(1+n)-logn) $
Ma anche qui rimango bloccato.
$ lim_(n->infty)(e^(-1/n)/n-e^(1/n)/n)/(log(1+n)-logn $
Andando a fare i calcoli si ottiene $ 0/(infty-infty $ , dunque dovrebbe essere una forma indeterminata
Lavorandoci un po sono arrivato fino a questo punto $ lim_(n->infty) (1-e^(1/n))/(n(log(1+n)-logn) $
Ma anche qui rimango bloccato.
Risposte
Dal limite di partenza Usa TAylor al numeratore mentre a denominatore raccogli la n dentro al primo logaritmo e poi applica le proprietà dei logaritmi. Io farei così
Ciao alemar05,
E' molto semplice, farei così:
$ lim_{n \to infty}(e^(-1/n)/n-e^(1/n)/n)/(log(1+n)-logn) = lim_{n \to infty} frac{e^{- 1/n} - e^{1/n}}{n log(1 + 1/n)} = lim_{n \to infty} frac{e^{- 1/n} - e^{1/n}}{log(1 + 1/n)^n} = frac{1 - 1}{1} = 0 $
E' molto semplice, farei così:
$ lim_{n \to infty}(e^(-1/n)/n-e^(1/n)/n)/(log(1+n)-logn) = lim_{n \to infty} frac{e^{- 1/n} - e^{1/n}}{n log(1 + 1/n)} = lim_{n \to infty} frac{e^{- 1/n} - e^{1/n}}{log(1 + 1/n)^n} = frac{1 - 1}{1} = 0 $
Bella la tua soluzione. Da quando ho incontrato TAylor appena posso lo uso ed a volte non penso a soluzioni più creative
"cooper":
Bella la tua soluzione.
Grazie!
"cooper":
[...] a volte non penso a soluzioni più creative
Ed è un peccato, perché secondo me saresti anche bravo a trovarle...
Ti ringrazio del complimento! Cercherò di sforzarmi in futuro, vediamo cosa esce! 
"pilloeffe":
Ciao alemar05,
E' molto semplice, farei così:
$ lim_{n \to infty}(e^(-1/n)/n-e^(1/n)/n)/(log(1+n)-logn) = lim_{n \to infty} frac{e^{- 1/n} - e^{1/n}}{n log(1 + 1/n)} = lim_{n \to infty} frac{e^{- 1/n} - e^{1/n}}{log(1 + 1/n)^n} = frac{1 - 1}{1} = 0 $
Avrei un dubbio
Il $ lim_(n->infty) log(1+1/n)^n $ non dovrebbe essere uguale a 0?
Infatti $ 1/n=0 $ per $ n->infty $ e il $ log^n(1)=0 $ quindi c'è la forma indeterminata $ 0/0 $
Non dovrebbe essere corretto lasciarlo nella forma $ nlog(1+1/n) $ ?
Così $ log(1+1/n)~ 1/n $ ed il risultato viene 1
@almar05
intanto verrebbe $log(1^n)$ e non $log^n(1)$ come hai scritto....
ma non hai mai sentito parlare di
$lim_(n ->oo)(1+1/n)^n=e$ ???
intanto verrebbe $log(1^n)$ e non $log^n(1)$ come hai scritto....
ma non hai mai sentito parlare di
$lim_(n ->oo)(1+1/n)^n=e$ ???
"tommik":
@almar05
intanto verrebbe $log(1^n)$ e non $log^n(1)$ come hai scritto....
ma non hai mai sentito parlare di
$lim_(n ->oo)(1+1/n)^n=e$ ???
Ah ok, hai ragione, giusto
Grazie
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