Limite di successione parametrica sulla gerarchia degli infiniti
Ciao a tutti,
ho appena calcolato un limite di una successione parametrica da risolvere utilizzando la gerarchia degli infiniti ma vorrei avere la certezza che il procedimento seguito sia corretto,quindi chiedo a voi
Calcolare $ lim (n^alpha+logn)/(n^2+7n) $ al variare di $ alpha in R $
Io l'ho risolto così...
- Se $ alpha <0 rArr lim (logn)/(n^2) * (n^alpha/logn+1)/(1+7/n)=0*1=0 $
- Se $ alpha>0 rArr lim n^alpha/n^2 * (1+logn/n^alpha)/(1+7/n) $
Il cui valore varia al variare di $alpha$...
-> Se $ 0
-> Se $ alpha >2 rArr $ $ n^alpha $ è un infinito di ordine superiore a $ n^2 $ , quindi $ n^alpha/n^2 rarr oo $ e dunque $ lim n^alpha/n^2 * (1+logn/n^alpha)/(1+7/n)=oo*1=oo $
Non mi è ancora chiaro invece cosa succede nel caso in cui $ alpha=0 $ : in questo caso posso comunque applicare la gerarchia degli infiniti?Altrimenti come posso eliminare la forma indeterminata $ n^alpha $ che si viene a creare con $ alpha=0 $ ?
Lo svolgimento e i risultati sono giusti?Fatemi sapere,vi ringrazio in anticipo!
ho appena calcolato un limite di una successione parametrica da risolvere utilizzando la gerarchia degli infiniti ma vorrei avere la certezza che il procedimento seguito sia corretto,quindi chiedo a voi
Calcolare $ lim (n^alpha+logn)/(n^2+7n) $ al variare di $ alpha in R $
Io l'ho risolto così...
- Se $ alpha <0 rArr lim (logn)/(n^2) * (n^alpha/logn+1)/(1+7/n)=0*1=0 $
- Se $ alpha>0 rArr lim n^alpha/n^2 * (1+logn/n^alpha)/(1+7/n) $
Il cui valore varia al variare di $alpha$...
-> Se $ 0
-> Se $ alpha >2 rArr $ $ n^alpha $ è un infinito di ordine superiore a $ n^2 $ , quindi $ n^alpha/n^2 rarr oo $ e dunque $ lim n^alpha/n^2 * (1+logn/n^alpha)/(1+7/n)=oo*1=oo $
Non mi è ancora chiaro invece cosa succede nel caso in cui $ alpha=0 $ : in questo caso posso comunque applicare la gerarchia degli infiniti?Altrimenti come posso eliminare la forma indeterminata $ n^alpha $ che si viene a creare con $ alpha=0 $ ?
Lo svolgimento e i risultati sono giusti?Fatemi sapere,vi ringrazio in anticipo!
Risposte
"Sdedo":
come posso eliminare la forma indeterminata $ n^alpha $ che si viene a creare con $ alpha=0 $ ?
Uhm, quale sarebbe forma indeterminata?
Se $\alpha=0$, al numeratore hai $1+\log n\approx\log n$, che è notoriamente più moscio del $n^2$ al denominatore.Il resto è ok
Ma se sto calcolando il limite di una successione non sto risolvendo il limite per $ n $ che tende a $ +oo $ e quindi $ n^alpha $ con $ alpha=0 $ è una forma indeterminata del tipo $ oo^0 $ ? Forse mi perdo qualcosa io 
Ogni valore del parametro $\alpha$ definisce una successione differente, di cui ti si chiede di calcolare il limite. Quando $\alpha=0$ la successione che hai davanti è
\[\dfrac{1+\log n}{n^2+7n}\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\]
\[\dfrac{1+\log n}{n^2+7n}\stackrel{n\to \infty}{\longrightarrow} 0\]
Ok grazie mille,ora è più chiaro
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