Limite di successione ostico

[Bertucciamaldestra]

Salve a tutti
Vorrei sapere che cosa c'è di sbagliato nello svolgimento di questo limite, il risultato sarebbe $7e^(-2)$
$lim_(xto+oo) ((7n^2 + n) n^n n!)/(n+sin(n!)*(n+2)^n*(n+1))!$

$=lim_(xto+oo) (7n^2(1+n/(7n^2)))/(n(sin(n!)/n +1)) * (n/(n+2))^n * ((n!)/((n+1)n!))$

$=lim_(xto+oo) 7n * 1^n * 1/(n+1) = (7n)/(n(1+1/n)) * 1$ $=7$
Più che il procedimento giusto vorrei proprio capire qual è l'errore in questi calcoli. Grazie

[Anacleto13]

Volevi dire $ntoinfty$

Comunque $(n+2)^n$ $~$ $n^(n)e^2$

[francicko]

A parte l'osservazione di @Anacleto13, che è giusta $(n+2)^n=n^n (1+2/n)^n=n^n ((1+2/n)^(n/2))^2~~n^n(e^2)$,
il limite così come è scritto $lim_(n->infty)(n^n(n+7n^2)n!)/(n+sin (n!)(n+2)^n (n+1)! $, non esiste e questo è dovuto alla presenza a denominatore del termine $sin (n!) $

[Bertucciamaldestra]

"francicko":A parte l'osservazione di @Anacleto13, che è giusta $(n+2)^n=n^n (1+2/n)^n=n^n ((1+2/n)^(n/2))^2~~n^n(e^2)$,
il limite così come è scritto $lim_(n->infty)(n^n(n+7n^2)n!)/(n+sin (n!)(n+2)^n (n+1)! $, non esiste e questo è dovuto alla presenza a denominatore del termine $sin (n!) $

Grazie mille ad entrambi, ma non capisco poi come si arrivi a $e^-2$ dato che a me ora risulta $e^2$.

Ma cosa più importante, vorrei capire come si "utilizza" questo limite notevole dato che lo sbaglio sempre $(1+2/n)^n$ al numeratore c'è il numero che diventa poi l'esponente di e, mentre al denominatore devo avere $n$ solo o $n+costante$ per poterlo applicare?

Grazie ancora!

[pilloeffe]

Ciao Bertucciamaldestra,

In generale si ha:

$\lim_{n \to +\infty} (1 + a/n)^n = e^a $

$\lim_{n \to +\infty} (1 + a/n)^{bn} = e^{ab} $

$\lim_{f(n) \to \pm \infty} (1 + 1/f(n))^{f(n)} = e $

[Bertucciamaldestra]

Grazie pilloeffe!!