Limite di successione elementare(dimostrazione):
Nell'ambito dei limiti di successione, volendo dimostrare che $root(n)(n^b)=1$, il libro studia il caso in cui $ b= 1/2 $ , quindi abbiamo: $root(n)(n^(1/2))$ Poi afferma che $root(n)(n^(1/2))>=1$ perchè? se per caso ho $n=0$ non ottengo un assurdo poi?
Risposte
per dimostrare quel limite non è necessario porre $b=1/2;$ infatti:
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{n^b}=\lim_{n\to+\infty} n^{\frac{b}{n}} =\lim_{n\to+\infty} e^{\displaystyle\frac{b\ln n}{n}}=1
\end{align*}
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty} \sqrt[n]{n^b}=\lim_{n\to+\infty} n^{\frac{b}{n}} =\lim_{n\to+\infty} e^{\displaystyle\frac{b\ln n}{n}}=1
\end{align*}
Si, ma vorrei capire anche il procedimento logico del mio libro, perchè è $>=1$?
\begin{align*} \sqrt[n]{n^{(1/2)}}\ge1\quad\Leftrightarrow\quad n^{\frac{1}{2n}}\ge1\quad\Leftrightarrow\quad e^{\displaystyle\frac{ \ln n}{2n}}\ge1\quad\Leftrightarrow\quad \frac{ \ln n}{2n}\ge0 \quad\Leftrightarrow\quad \ln n \ge0 \quad\Leftrightarrow\quad n\ge 1 \to\forall n\in \mathbb{N}\end{align*}
naturalmente $\NN$ deve essere privato dello zero in questo caso altrimenti quella successione non è bene definita, anzi non ha sesno!
naturalmente $\NN$ deve essere privato dello zero in questo caso altrimenti quella successione non è bene definita, anzi non ha sesno!
Perfetto, grazie mille!
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