Limite di successione di funzioni
Ciao a tutti, ho qualche dubbio su questo argomento:
1) Devo determinare il limite della successione di funzioni:
$f_k:RR->RR$
$F_k(x)=(kx)/(k^2x^4+1)$
2) E devo stabilire se $(f_k)_(kinNN)$ converge uniformemente in $RR$
Procedo come segue:
1) Calcolo la derivata prima di $F'_k(x)=(k(k^2x^4+1)-kx(4k^2x^3))/(k^2x^4+1)^2=1/(k^2x^4+1)^2$ da cui ottengo che diverge ($Sup=+infty$).
In alternativa potrei dire che $F_k(x)$ è asintotica a $1/k$ (che diverge) e quindi anch'essa diverge.
Dove sbaglio? Se la risposta è "tutto" apprezzate il fatto che il testo è scritto correttamente.
Grazie mille in anticipo
1) Devo determinare il limite della successione di funzioni:
$f_k:RR->RR$
$F_k(x)=(kx)/(k^2x^4+1)$
2) E devo stabilire se $(f_k)_(kinNN)$ converge uniformemente in $RR$
Procedo come segue:
1) Calcolo la derivata prima di $F'_k(x)=(k(k^2x^4+1)-kx(4k^2x^3))/(k^2x^4+1)^2=1/(k^2x^4+1)^2$ da cui ottengo che diverge ($Sup=+infty$).
In alternativa potrei dire che $F_k(x)$ è asintotica a $1/k$ (che diverge) e quindi anch'essa diverge.
Dove sbaglio? Se la risposta è "tutto" apprezzate il fatto che il testo è scritto correttamente.
Grazie mille in anticipo
Risposte
prima di vedere la convergenza uniforme.. io guarderei prima la puntuale..
perché $ \text{convergenza uniforme}\text \rArr \text{convergenza puntuale}\text $
ma $ \text{NO convergenza puntuale}\text \rArr \text{NO convergenza uniforme}\text $
quindi prima di tutto si verifica se si ha convergenza puntuale..
nel tuo caso $ x=0, f_k(0)=0 $
ora $ \forall x=x_0 \in RR-\{0}\ $ si ha $ f_k(x_0)=(kx_0)/(k^2x_0^4+1) $
che per $ k\to +\infty $ $f_k(x_0)\to 0$
quindi ora SI..che si studia la convergenza uniforme!..
facendo come hai fatto tu.. (NON ho controllato i calcoli, ma il ragionamento è esatto)
perché $ \text{convergenza uniforme}\text \rArr \text{convergenza puntuale}\text $
ma $ \text{NO convergenza puntuale}\text \rArr \text{NO convergenza uniforme}\text $
quindi prima di tutto si verifica se si ha convergenza puntuale..
nel tuo caso $ x=0, f_k(0)=0 $
ora $ \forall x=x_0 \in RR-\{0}\ $ si ha $ f_k(x_0)=(kx_0)/(k^2x_0^4+1) $
che per $ k\to +\infty $ $f_k(x_0)\to 0$
quindi ora SI..che si studia la convergenza uniforme!..
facendo come hai fatto tu.. (NON ho controllato i calcoli, ma il ragionamento è esatto)
Ma quindi la convergenza puntuale la verifico da: $lim_(n->+infty) f_n(x)$, e se trovo che il limite è finito allora vi è convergenza puntuale?
Mentre la convergenza uniforme la trovo studiando l'estremo superiore o funzioni asintotiche come ho fatto io?
Grazie ancora!
Mentre la convergenza uniforme la trovo studiando l'estremo superiore o funzioni asintotiche come ho fatto io?
Grazie ancora!
Scusa se riposto ma ho risolto quei dubbi che avevo scritto in precedenza.
Mi resta un ultimissimo dubbio: si ha convergenza uniforme se e solo se il limite (per $n->infty$) del sup di $|f_n(x)-f(x)|$ coincide con il valore della funzione limite $f(x)$ ??
Mi resta un ultimissimo dubbio: si ha convergenza uniforme se e solo se il limite (per $n->infty$) del sup di $|f_n(x)-f(x)|$ coincide con il valore della funzione limite $f(x)$ ??
Definizione
diciamo che la successione $ \{f_(n)\}_(n\geq0) $ $ \text{converge uniformemente}\text $
su $ E\sube RR $ alla funzione limite $f$ se
1. $ \{f_(n)\}_(n\geq0) $ $ \text{converge puntualmente}\text $ a $f$ su E
2. si ha $ \lim_(n\to +\infty) Sup_(x\in E) |f_(n)(x)-f(x)|=0 $
diciamo che la successione $ \{f_(n)\}_(n\geq0) $ $ \text{converge uniformemente}\text $
su $ E\sube RR $ alla funzione limite $f$ se
1. $ \{f_(n)\}_(n\geq0) $ $ \text{converge puntualmente}\text $ a $f$ su E
2. si ha $ \lim_(n\to +\infty) Sup_(x\in E) |f_(n)(x)-f(x)|=0 $
"21zuclo":
Definizione
diciamo che la successione $ \{f_(n)\}_(n\geq0) $ $ \text{converge uniformemente}\text $
su $ E\sube RR $ alla funzione limite $f$ se
1. $ \{f_(n)\}_(n\geq0) $ $ \text{converge puntualmente}\text $ a $f$ su E
2. si ha $ \lim_(n\to +\infty) Sup_(x\in E) |f_(n)(x)-f(x)|=0 $
Grazie mille!
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