Limite di successione contenente un integrale
Un esercizio mi richiede di calcolare il seguente limite:
$$\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{n}^{+\infty} \frac{n^2x^2}{1+x^2}\arctan \frac{1}{nx^2}dx $$
Calcolare la primitiva dell'integranda in funzione di $n$ è fuori questione. Ho provato col teorema del confronto ma senza molto successo. L'unico approccio che mi sembra abbia dato un po' di frutti è questo:
Innanzitutto notiamo che $$ \frac{n^2x^2}{1+x^2}\arctan \frac{1}{nx^2}= n/x^2+no(1/x^2) $$ per $x\rightarrow +\infty$
Si ha dunque che $$ \int_{n}^{+\infty} \frac{n^2x^2}{1+x^2}\arctan \frac{1}{nx^2}dx= n\int_{n}^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx+ n\int_{n}^{+\infty}o(1/x^2)dx=1+n\int_{n}^{+\infty}o(1/x^2)dx$$
Se dimostriamo che $n\int_{n}^{+\infty}o(1/x^2)dx$ tende a $0$ per $n$ che tende a infinito, abbiamo che il limite richiesto vale $1$.
Sia $\epsilon >0$; sappiamo che esiste $M>0$ tale che $$x>M \Rightarrow |o(1/x^2)|<\epsilon \frac{1}{x^2}$$
Pertanto, se anche $n>M$, allora $$ n|\int_{n}^{+\infty} o(1/x^2)dx|\leq n\int_{n}^{+\infty} |o(1/x^2)|dx\leq n\epsilon \int_{n}^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx=n\epsilon\cdot \frac{1}{n}=\epsilon $$
E' corretta come soluzione? Io non trovo errori, ma in ogni caso non mi sembra l'approccio migliore. Sono abbastanza sicuro che ci sia qualcosa di più semplice, o "naturale", che mi sfugge.
Grazie anticipatamente per l'aiuto
$$\lim_{n\rightarrow +\infty} \int_{n}^{+\infty} \frac{n^2x^2}{1+x^2}\arctan \frac{1}{nx^2}dx $$
Calcolare la primitiva dell'integranda in funzione di $n$ è fuori questione. Ho provato col teorema del confronto ma senza molto successo. L'unico approccio che mi sembra abbia dato un po' di frutti è questo:
Innanzitutto notiamo che $$ \frac{n^2x^2}{1+x^2}\arctan \frac{1}{nx^2}= n/x^2+no(1/x^2) $$ per $x\rightarrow +\infty$
Si ha dunque che $$ \int_{n}^{+\infty} \frac{n^2x^2}{1+x^2}\arctan \frac{1}{nx^2}dx= n\int_{n}^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx+ n\int_{n}^{+\infty}o(1/x^2)dx=1+n\int_{n}^{+\infty}o(1/x^2)dx$$
Se dimostriamo che $n\int_{n}^{+\infty}o(1/x^2)dx$ tende a $0$ per $n$ che tende a infinito, abbiamo che il limite richiesto vale $1$.
Sia $\epsilon >0$; sappiamo che esiste $M>0$ tale che $$x>M \Rightarrow |o(1/x^2)|<\epsilon \frac{1}{x^2}$$
Pertanto, se anche $n>M$, allora $$ n|\int_{n}^{+\infty} o(1/x^2)dx|\leq n\int_{n}^{+\infty} |o(1/x^2)|dx\leq n\epsilon \int_{n}^{+\infty} \frac{1}{x^2}dx=n\epsilon\cdot \frac{1}{n}=\epsilon $$
E' corretta come soluzione? Io non trovo errori, ma in ogni caso non mi sembra l'approccio migliore. Sono abbastanza sicuro che ci sia qualcosa di più semplice, o "naturale", che mi sfugge.
Grazie anticipatamente per l'aiuto
Risposte
Non ho controllato tutti i dettagli (forse l'hai fatta un po' troppo lunga, perchè per esempio quell'\(o(1/x^2)\) è invero \(o(1/x^3)\)), ma l'idea di controllare il comportamente asintotico dell'\(\arctan\) è corretta, e anche tutto il resto sembra comunque giusto.
@siddy: Hai fatto bene a fare questi calcoli, così ti fai una idea quantitativa delle grandezze in gioco. Però per concludere vorrei dare un piccolo suggerimento. Sai bene che se una serie è convergente, il suo resto \(n\) esimo tende a zero quando \(n\to\infty\). Allo stesso modo, se l'integrale improprio \(\int_1^\infty f(x)\, dx\) converge, allora
\[
\lim_{c\to \infty} \int_c^\infty f(x)\, dx =0.\]
I tuoi conti stanno dimostrando proprio questo, il che è naturale, visto che la tua analisi asintotica mostra che il tuo integrale improprio è assolutamente convergente.
\[
\lim_{c\to \infty} \int_c^\infty f(x)\, dx =0.\]
I tuoi conti stanno dimostrando proprio questo, il che è naturale, visto che la tua analisi asintotica mostra che il tuo integrale improprio è assolutamente convergente.
E' vero questo risultato, ma occhio che il problema posto e' leggermente diverso perche' c'e' dipendenza da $n$ anche nell'integranda.
Uh che fesso, è vero. E allora niente, @siddy: lascia stare il mio commento. L'analisi quantitativa che fai tu è strettamente necessaria, non te ne puoi uscire con un trucco "soft" come suggeriva il mio post precedente.
Una piccola precisazione, che la metto sotto spoiler, per una discussione che ebbi con dissonance.
Penso che una via piu' facile ci sia. Metti $x=nt$, l'integrale diventa $\int_1^{+\infty}\frac{n^5t^2}{1+n^2t^2}\arctan\frac{1}{n^3t^2}dt$. Ora l'integranda va puntualmente a $1/t^2$ ed e' dominata da $1/t^2$, per cui concludi per il teorema della convergenza dominata. Controlla tutto pero', l'ho fatto a mente...
Grazie a tutti per le risposte!
Non conosco il teorema della convergenza dominata (l'esercizio è di Analisi 2, capitolo sulle serie di funzioni), ma immagino che si possa dimostrare che l'integranda converge uniformemente a $1/t^2$, e quindi applicare il passaggio al limite sotto il segno di integrale, che restituisce immediatamente lo stesso risultato.
In effetti penso che la sostituzione che ha usato Luca sia il trucco che aveva in mente l'autore. Mi sembrava, infatti, abbastanza strano che servisse tirare in ballo gli $\epsilon-\delta$ per un esercizio che alla fine è abbastanza standard. Avevo anche pensato di utilizzare dei teoremi sulle successioni di funzioni (considerato che il capitolo è quello), ma non sapevo come liberarmi di quell'$n$ all'estremo di integrazione. Non credo che mi sarebbe venuto in mente di utilizzare una sostituzione, ma per i prossimi esercizi me ne ricorderò
Grazie ancora!
Non conosco il teorema della convergenza dominata (l'esercizio è di Analisi 2, capitolo sulle serie di funzioni), ma immagino che si possa dimostrare che l'integranda converge uniformemente a $1/t^2$, e quindi applicare il passaggio al limite sotto il segno di integrale, che restituisce immediatamente lo stesso risultato.
In effetti penso che la sostituzione che ha usato Luca sia il trucco che aveva in mente l'autore. Mi sembrava, infatti, abbastanza strano che servisse tirare in ballo gli $\epsilon-\delta$ per un esercizio che alla fine è abbastanza standard. Avevo anche pensato di utilizzare dei teoremi sulle successioni di funzioni (considerato che il capitolo è quello), ma non sapevo come liberarmi di quell'$n$ all'estremo di integrazione. Non credo che mi sarebbe venuto in mente di utilizzare una sostituzione, ma per i prossimi esercizi me ne ricorderò
Grazie ancora!
Non puoi passare al limite con la convergenza uniforme se sei su un illimitato...
"Luca.Lussardi":
Non puoi passare al limite con la convergenza uniforme se sei su un illimitato...
Ah, okay, ho dato per scontato che si potesse fare, devo prestare più attenzione.
Eh già. Su un intervallo illimitato l'integrale della funzione potrebbe spalmarsi all'infinito e rimanere costante, anche se i valori puntuali della funzione tendono uniformemente a 0. Più formalmente, se \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) è una funzione limitata e con integrale finito allora
\[
f_\epsilon(x):=\epsilon f(\epsilon x)
\]
definisce una famiglia di funzioni tale che \(\lim_{\epsilon \to 0} \| f_\epsilon\|_{\infty}=0\) e
\[
\int_{-\infty}^\infty f_\epsilon(x)\, dx =\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx, \]
quindi se l'ultimo integrale non è nullo significa che non si può passare al limite sotto il segno di integrale, nonostante la convergenza uniforme. Sono arrivato a questo esempio ragionando sulla funzione \(f(x)=e^{-x^2}\), un esempio che si visualizza bene.
\[
f_\epsilon(x):=\epsilon f(\epsilon x)
\]
definisce una famiglia di funzioni tale che \(\lim_{\epsilon \to 0} \| f_\epsilon\|_{\infty}=0\) e
\[
\int_{-\infty}^\infty f_\epsilon(x)\, dx =\int_{-\infty}^\infty f(x)\, dx, \]
quindi se l'ultimo integrale non è nullo significa che non si può passare al limite sotto il segno di integrale, nonostante la convergenza uniforme. Sono arrivato a questo esempio ragionando sulla funzione \(f(x)=e^{-x^2}\), un esempio che si visualizza bene.
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