Limite di successione con razionalizzazione..
Ciao ragazzi, vi propongo questo limite nella cui risoluzione ho incontrato delle difficoltà e nutro ancora delle perplessità riguardo la mia esecuzione dell'esercizio:
\[\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} - \sqrt{n^2 + 7n -e^{-5n}}\]
Vi posto la mia risoluzione, sperando di ricevere delle risposte:
[size=50]\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} - \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}} \right) \times \left(\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} + \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}} \div \sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} + \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}}\right) \)[/size][/size]
(Ho semplicemente razionalizzato, ma visto che era un'espressione lunga, se non la rimpicciolivo, me la tagliava)
Da cui:
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\left(n^2-2n\log_{e}{n}+2-n^2-7n+e^{-5n}\right)\div \left(\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} + \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}}\right) \)
Quindi non resta altro che eliminare n^2 e vedere l'asintoticità; qui ho incontrato un po' di difficoltà a comprendere se fosse 1 oppure 2 la soluzione da adottare;
1. \(\displaystyle \left(-2n\log_{e}{n}+2-7n+e^{-5n}\right)\sim -2n logn \)
2. \(\displaystyle \left(-2n\log_{e}{n}+2-7n+e^{-5n}\right)\ \sim -7n \)
Stessa cosa al denominatore:
1.\(\displaystyle \left(\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} + \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}}\right) \sim -n\log_{e}{n} \)
2.\(\displaystyle \left(\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} + \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}}\right) \sim 2n \)
Alla fine ho optato per le rispettive 2 e ho ottenuto:
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} -7n\div2n = -7/2 \).
A questo punto, vi chiedo se la mia risoluzione è corretta, oppure se ho sbagliato a considerare gli asintotici.( Spero di no, ma mi devo togliere il dubbio).
Ciao a tutti e grazie a chi risponderà!
\[\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} - \sqrt{n^2 + 7n -e^{-5n}}\]
Vi posto la mia risoluzione, sperando di ricevere delle risposte:
[size=50]\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\left(\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} - \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}} \right) \times \left(\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} + \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}} \div \sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} + \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}}\right) \)[/size][/size]
(Ho semplicemente razionalizzato, ma visto che era un'espressione lunga, se non la rimpicciolivo, me la tagliava)
Da cui:
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\left(n^2-2n\log_{e}{n}+2-n^2-7n+e^{-5n}\right)\div \left(\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} + \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}}\right) \)
Quindi non resta altro che eliminare n^2 e vedere l'asintoticità; qui ho incontrato un po' di difficoltà a comprendere se fosse 1 oppure 2 la soluzione da adottare;
1. \(\displaystyle \left(-2n\log_{e}{n}+2-7n+e^{-5n}\right)\sim -2n logn \)
2. \(\displaystyle \left(-2n\log_{e}{n}+2-7n+e^{-5n}\right)\ \sim -7n \)
Stessa cosa al denominatore:
1.\(\displaystyle \left(\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} + \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}}\right) \sim -n\log_{e}{n} \)
2.\(\displaystyle \left(\sqrt{n^2-2n\log_{e}{n}+2} + \sqrt{n^2 - 7n -e^{-5n}}\right) \sim 2n \)
Alla fine ho optato per le rispettive 2 e ho ottenuto:
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} -7n\div2n = -7/2 \).
A questo punto, vi chiedo se la mia risoluzione è corretta, oppure se ho sbagliato a considerare gli asintotici.( Spero di no, ma mi devo togliere il dubbio).
Ciao a tutti e grazie a chi risponderà!
Risposte
non ho controllato i conti, A numeratore, se hai dubbi prova a raccoglire:
\begin{align*}
\left(-2n\ln n+2-7n+e^{-5n}\right)=n\left(-2 \ln n+\frac{2}{n}-7 +\frac{1}{n\cdot e^{5n}}\right)= -2n \ln n
\end{align*}
poichè entro le parentesi tonde l'infinito piu grande è $-2\ln n,$ e duqne tutto il numeratore si comporta asintoticamente come $-2n \ln n$
\begin{align*}
\lim_{n \to\infty} \frac{-2n \ln n}{2n} = -\infty
\end{align*}
\begin{align*}
\left(-2n\ln n+2-7n+e^{-5n}\right)=n\left(-2 \ln n+\frac{2}{n}-7 +\frac{1}{n\cdot e^{5n}}\right)= -2n \ln n
\end{align*}
poichè entro le parentesi tonde l'infinito piu grande è $-2\ln n,$ e duqne tutto il numeratore si comporta asintoticamente come $-2n \ln n$
\begin{align*}
\lim_{n \to\infty} \frac{-2n \ln n}{2n} = -\infty
\end{align*}
A mio parere, il denominatore, se tu dici che 2nlog(n) va a infinito più rapidamente di -7n, dovrebbe essere asintotico a nlog(n) e il limite dovrebbe fare -2.
Ergo, se è cosi, ho sbagliato l'esercizio!
Ergo, se è cosi, ho sbagliato l'esercizio!
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