Limite di successione
Allora guardate com'è stato risolto il seguente limite di successione, non ho capito alcuni passaggi:
[tex]\frac{\sqrt[n]{2}-1}{2^{n}+n^{10}}(\sqrt[n]{n^{n^2+2n}+2^n\cdot n^{n^2+n}}-n^{n+2}=\frac{e^{\frac{log2}{n}}-1}{2^{n}(1+o(1))}n^{n+2}\sqrt[n]{1+\frac{2^n}{n^n}}-1=[/tex]
[tex]\frac{log2(1+o(1))}{n2^{n}}n^{n+2}(exp(\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n}))-1)=[/tex]
[tex]\frac{log2(1+o(1))}{n2^n}n^{n+2}\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n})(1+o(1))=[/tex]
[tex]\frac{n^{n}log2}{2^n}\frac{2^{n}}{n^n}(1+o(1)) = log2(1+o(1))[/tex]
Allora i passaggi che non ho capito sono i seguenti:
• come si arriva da [tex]\sqrt[n]{2}[/tex] -----> [tex]e^{\frac{log2}{n}}[/tex]
• come si arriva poi da [tex]\frac{e^{\frac{log2}{n}}-1}{2^{n}(1+o(1))}[/tex] -----> [tex]\frac{log2(1+o(1))}{n2^{n}}[/tex]
• come si arriva da [tex]exp(\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n}))-1)[/tex] -----> [tex]\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n})(1+o(1))[/tex]
[tex]\frac{\sqrt[n]{2}-1}{2^{n}+n^{10}}(\sqrt[n]{n^{n^2+2n}+2^n\cdot n^{n^2+n}}-n^{n+2}=\frac{e^{\frac{log2}{n}}-1}{2^{n}(1+o(1))}n^{n+2}\sqrt[n]{1+\frac{2^n}{n^n}}-1=[/tex]
[tex]\frac{log2(1+o(1))}{n2^{n}}n^{n+2}(exp(\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n}))-1)=[/tex]
[tex]\frac{log2(1+o(1))}{n2^n}n^{n+2}\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n})(1+o(1))=[/tex]
[tex]\frac{n^{n}log2}{2^n}\frac{2^{n}}{n^n}(1+o(1)) = log2(1+o(1))[/tex]
Allora i passaggi che non ho capito sono i seguenti:
• come si arriva da [tex]\sqrt[n]{2}[/tex] -----> [tex]e^{\frac{log2}{n}}[/tex]
• come si arriva poi da [tex]\frac{e^{\frac{log2}{n}}-1}{2^{n}(1+o(1))}[/tex] -----> [tex]\frac{log2(1+o(1))}{n2^{n}}[/tex]
• come si arriva da [tex]exp(\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n}))-1)[/tex] -----> [tex]\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n})(1+o(1))[/tex]
Risposte
Ti rispondo con calma:
Ricorda che:
[tex]{f(x)}^{g(x)} = e^{log({{f(x)}^{g(x)}})} = e^{{g(x)}log{{f(x)}}}[/tex]
Quindi:
[tex]\sqrt{2} = 2^{1 \over n} = e^{log{2^{1 \over n}}} = e^{{log{2}} \over n}[/tex]
"ireon":
Allora i passaggi che non ho capito sono i seguenti:
• come si arriva da [tex]\sqrt[n]{2}[/tex] -----> [tex]e^{\frac{log2}{n}}[/tex]
Ricorda che:
[tex]{f(x)}^{g(x)} = e^{log({{f(x)}^{g(x)}})} = e^{{g(x)}log{{f(x)}}}[/tex]
Quindi:
[tex]\sqrt{2} = 2^{1 \over n} = e^{log{2^{1 \over n}}} = e^{{log{2}} \over n}[/tex]
"ireon":
• come si arriva da [tex]exp(\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n}))-1)[/tex] -----> [tex]\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n})(1+o(1))[/tex]
Non riesco bene ad individuare.
Penso sia stato utilizzato lo sviluppo asintotico:
[tex]e^t = 1 + t + o(t^2)[/tex]
E quindi:
[tex]e^{\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n})} - 1 = 1 + \frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n}) + o(\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n})) - 1 =\frac{1}{n}log(1+\frac{2^{n}}{n^n})(1 + o(1))[/tex]
Ma non ne sono troppo sicuro
Tutto chiaro bastava scrivere [tex]\sqrt[n]{2}[/tex] come [tex]2^{1/n}[/tex] e quindi scriverlo come esponenziale tenendo conto della relazione con il logaritmo, mentre per gli altri 2 basta utilizzare lo sviluppo di Taylor.. Ok dubbi risolti! 
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