Limite di successione
Ciao, amici!
Sto facendo alcuni esercizi, a prima vista avrei detto piuttosto semplici (oggettivamente, non in relazione a me che studio analisi da autodidatta ed ho fatto il liceo classico), senonché mi trovo davanti a $\lim_{n \to \+infty} (n-sqrt(n^2-1))log_2n$ , che direi, guardando ai due fattori, essere equivalente a $+\infty(+\infty)=+\infty$ o, considerando che $\lim_{n \to \+infty} (n-sqrt(n^2-1))log_2n = \lim_{n \to \+infty} log_2n^(n-sqrt(n^2-1))$, equivalente a $+\infty^(+\infty)=+\infty$. Invece il libro dà come limite 0.
Sono conscio del fatto che, dati $a>0, a≠0, p>0$ si ha che $\lim_{n \to \+infty} (log_a n)/(n^p) = 0$ , ma , ponendo un denominatore del tipo $n^p$ con $p=1$ al nostro fattore, ottengo
$\lim_{n \to \+infty} n(n-sqrt(n^2-1))(log_2n)/n$, che mi fornisce l'indeterminato $+\infty·0$...
Qualcuno potrebbe per favore dirmi dove sbaglio? ...Sempre che non ci sia un errore di stampa nella soluzione 0 che dà il libro...
Grazie tendenti a infinito
a tutti!
Davide
Sto facendo alcuni esercizi, a prima vista avrei detto piuttosto semplici (oggettivamente, non in relazione a me che studio analisi da autodidatta ed ho fatto il liceo classico), senonché mi trovo davanti a $\lim_{n \to \+infty} (n-sqrt(n^2-1))log_2n$ , che direi, guardando ai due fattori, essere equivalente a $+\infty(+\infty)=+\infty$ o, considerando che $\lim_{n \to \+infty} (n-sqrt(n^2-1))log_2n = \lim_{n \to \+infty} log_2n^(n-sqrt(n^2-1))$, equivalente a $+\infty^(+\infty)=+\infty$. Invece il libro dà come limite 0.
Sono conscio del fatto che, dati $a>0, a≠0, p>0$ si ha che $\lim_{n \to \+infty} (log_a n)/(n^p) = 0$ , ma , ponendo un denominatore del tipo $n^p$ con $p=1$ al nostro fattore, ottengo
$\lim_{n \to \+infty} n(n-sqrt(n^2-1))(log_2n)/n$, che mi fornisce l'indeterminato $+\infty·0$...
Qualcuno potrebbe per favore dirmi dove sbaglio? ...Sempre che non ci sia un errore di stampa nella soluzione 0 che dà il libro...
Grazie tendenti a infinito
a tutti!Davide
Risposte
Veramente già $n-\sqrt{n^2-1}$ è già una forma indeterminata: $+\infty-\infty$.
Grazie, Luca, per la risposta (e che onore!)!!!
Quindi il limite $\lim_{n \to \+infty} (n-sqrt(n^2-1))log_2n$ è indefinito, no?
Quanto a $n-sqrt(n^2-1)$ mi sono confuso alla grande! Riflettendo un po' di più mi sembra piuttosto che la differenza $n-sqrt(n^2-1)$ diminuisca all'aumentare di n...
Grazie di cuore!!!
Quindi il limite $\lim_{n \to \+infty} (n-sqrt(n^2-1))log_2n$ è indefinito, no?
Quanto a $n-sqrt(n^2-1)$ mi sono confuso alla grande! Riflettendo un po' di più mi sembra piuttosto che la differenza $n-sqrt(n^2-1)$ diminuisca all'aumentare di n...
Grazie di cuore!!!
Prova a razionalizzare!
Grazie anche a te, j18eos! Bellissimo avatar, oltretutto...
Quanto alla progressiva diminuzione di $n-sqrt(n^2-1)$ , dal momento che non mi pare possibile dimostrare che per ogni ε>0 ci sia un certo termine della successione (diciamo $a_N$) a partire dal quale la distanza tra i termini successivi e l'eventuale limite sia inferiore ad ε, non porta comunque ad un limite tipo 0: $+oo-oo$ è indefinito.
Uso sempre condizionali e verbi di dubbio per umiltà davanti ad una scienza in cui cerco di fare i miei primi passi, ma, se a è indefinito, mi sembra ovvio che ab sia indefinito, quindi direi proprio che il limite oggetto della mia domanda è decisamente indefinito.
Mi sembra che fili... Corretto?
Ciao e grazie di cuore a tutti!!!
Quanto alla progressiva diminuzione di $n-sqrt(n^2-1)$ , dal momento che non mi pare possibile dimostrare che per ogni ε>0 ci sia un certo termine della successione (diciamo $a_N$) a partire dal quale la distanza tra i termini successivi e l'eventuale limite sia inferiore ad ε, non porta comunque ad un limite tipo 0: $+oo-oo$ è indefinito.
Uso sempre condizionali e verbi di dubbio per umiltà davanti ad una scienza in cui cerco di fare i miei primi passi, ma, se a è indefinito, mi sembra ovvio che ab sia indefinito, quindi direi proprio che il limite oggetto della mia domanda è decisamente indefinito.
Mi sembra che fili... Corretto?
Ciao e grazie di cuore a tutti!!!
Le tue sono intuizioni senza alcun fondamento matematico; la matematica non è fatta d'intuizioni ma di rigorosi ragionamenti, rarissimamente nati da intuizioni. Segui il mio consiglio!
Se tu non avessi capito di cosa stia parlando ti posterei il primo passaggio, anzi eccotelo:
[tex]$\lim_{n\to+\infty}(n-\sqrt{n^2-1})\log_2n\cdot\bigg(\frac{n+\sqrt{n^2-1}}{n+\sqrt{n^2-1}}\bigg)$[/tex]
OUT OF SELF: Grazie per il complimento all'avatar, sono un amante dell'arte frattale!
Se tu non avessi capito di cosa stia parlando ti posterei il primo passaggio, anzi eccotelo:
[tex]$\lim_{n\to+\infty}(n-\sqrt{n^2-1})\log_2n\cdot\bigg(\frac{n+\sqrt{n^2-1}}{n+\sqrt{n^2-1}}\bigg)$[/tex]
OUT OF SELF: Grazie per il complimento all'avatar, sono un amante dell'arte frattale!
"j18eos":"Rarissimamente" addirittura!!!
Le tue sono intuizioni senza alcun fondamento matematico; la matematica non è fatta d'intuizioni ma di rigorosi ragionamenti, rarissimamente nati da intuizioni.
Non sono per nulla d'accordo. Trovo che sia un grande male mortificare l'intuizione.
Non dico che l'intuizione sia da ignorare in matematica, assolutamente; seguire sì le intuizioni ma verificarle poi.
Volevo affermare che il risultato rarissimamente è quello intuito; almenoche non si abbiano solo intuizioni geniali!
Volevo affermare che il risultato rarissimamente è quello intuito; almenoche non si abbiano solo intuizioni geniali!
Uh, grazie, j18eos!!!
Non tenevo conto del fatto che $\lim_{n \to +\infty} (n-sqrt(n^2-1)) log_2 n = \lim_{n \to +\infty} (n-sqrt(n^2-1)) (n+sqrt(n^2-1)) (log_2 n)/(n+sqrt(n^2-1)) = \lim_{n \to +\infty} (n^2-n^2+1) (log_2 n)/(n+sqrt(n^2-1)) = \lim_{n \to +\infty} ((log_2 n)/n)/(1+sqrt(1-1/n^2)) = 1/2 · \lim_{n \to +\infty} (log_2 n)/n = 0$
Grazie di cuore a tutti per l'aiuto! Non devo farmi fuorviare da un'eccessiva fiducia nel mio esprit de finesse
Ciao a tutti!!!
Davide
P.S.: realizzo adesso che il consiglio di j18eos di razionalizzare significava non "rifletti meglio", ma "utilizza la proprietà per cui $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$" per non avere più la radice al numeratore! Che ignoranza del lessico tecnico ho ancora... Dà tanta gioia apprendere cose nuove...
Non tenevo conto del fatto che $\lim_{n \to +\infty} (n-sqrt(n^2-1)) log_2 n = \lim_{n \to +\infty} (n-sqrt(n^2-1)) (n+sqrt(n^2-1)) (log_2 n)/(n+sqrt(n^2-1)) = \lim_{n \to +\infty} (n^2-n^2+1) (log_2 n)/(n+sqrt(n^2-1)) = \lim_{n \to +\infty} ((log_2 n)/n)/(1+sqrt(1-1/n^2)) = 1/2 · \lim_{n \to +\infty} (log_2 n)/n = 0$
Grazie di cuore a tutti per l'aiuto! Non devo farmi fuorviare da un'eccessiva fiducia nel mio esprit de finesse
Ciao a tutti!!!
Davide
P.S.: realizzo adesso che il consiglio di j18eos di razionalizzare significava non "rifletti meglio", ma "utilizza la proprietà per cui $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$" per non avere più la radice al numeratore! Che ignoranza del lessico tecnico ho ancora... Dà tanta gioia apprendere cose nuove...
Ti spiego l'origine del termine razionalizzare "con un classico conto": [tex]$\frac{1}{\sqrt2}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$[/tex] in quanto è fastidioso avere una radice al denominatore di una frazione!
Grazie!!! Infatti avevo notato che il mio manuale (che leggo da autodidatta per piacere e non come parte di alcun corso accademico o scolastico), Istituzioni di Matematica di Michiel Bertsch, dà sempre soluzioni del tipo $(a sqrt(b))/b$ in luogo di $a/sqrt(b)$...
Ciao e grazie ancora a te e a tutti!!!!!
Ciao e grazie ancora a te e a tutti!!!!!
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