Limite di successione
[tex]\lim_{n \to \infty }\frac{3^nn!}{n^n}[/tex]
Ho provato a risolverla così:
[tex]\lim_{n \to \infty }\frac{e^{nlog3}e^{log(n!)}}{e^{nlogn}}[/tex]
E avrei:
[tex]\lim_{n \to \infty }e^{nlog3+log(n!)-nlog(n)}[/tex]
Ora suppongo debba mettere in evidenza, però non capisco cosa, perchè non sono riuscito ad arrivare ad un risultato corretto....
Ho provato a risolverla così:
[tex]\lim_{n \to \infty }\frac{e^{nlog3}e^{log(n!)}}{e^{nlogn}}[/tex]
E avrei:
[tex]\lim_{n \to \infty }e^{nlog3+log(n!)-nlog(n)}[/tex]
Ora suppongo debba mettere in evidenza, però non capisco cosa, perchè non sono riuscito ad arrivare ad un risultato corretto....
Risposte
Io proverei col criterio del rapporto...nel confronto fra infiniti funziona sempre.
Non l'abbiamo fatta l'approssimazione, seguendo il criterio del rapporto arrivo a questo punto e mi blocco:
[tex]3\frac{n!(n+1)}{n!}*\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}[/tex]
Dopo aver semplificato il fattoriale, non so che fare, nella frazione a destra il denominatore potrei scriverlo come prodotto di due fattori ma ho avuto un' altra forma indeterminata...
[tex]3\frac{n!(n+1)}{n!}*\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}[/tex]
Dopo aver semplificato il fattoriale, non so che fare, nella frazione a destra il denominatore potrei scriverlo come prodotto di due fattori ma ho avuto un' altra forma indeterminata...
Forse hai scritto male $a_{n+1}$ ed $a_n$, controlla
Sbaglio?
[tex]\frac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}*\frac{n^n}{3^nn!}[/tex]
[tex]\frac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}*\frac{n^n}{3^nn!}[/tex]
Adesso no. Prova a semplificare $n!$ a denominatore con il "simbolo" del fattoriale di $(n+1)!$ (in poche parole $\frac{(n+1)!}{n!}=n+1$ ) ed osserva che.....
$(n+1)^{n+1}=(n+1)^{n}(n+1)$
$(n+1)^{n+1}=(n+1)^{n}(n+1)$
Ah benissimo, si avevo già intuito come poter scrivere (n+1)^n.
Comunque non avevo fatto caso che si poteva semplificare con l'altro(n+1) al numeratore.
Adesso funziona.
Grazie a tutti!!!
Comunque non avevo fatto caso che si poteva semplificare con l'altro(n+1) al numeratore.
Adesso funziona.
Grazie a tutti!!!
A costo di fare una figuraccia: ma non si può tagliare corto dicendo che, per il Teorema della gerarchia degli infiniti, il termine $n^n$ prevale su tutti gli altri come ordine di infinito?
Mah...veramente a me vien fuori che quella successione è divergente.
Ed hai ragione!
Non avevo considerato che il teorema che ho citato vale con 2 quantità, non con tre
Non avevo considerato che il teorema che ho citato vale con 2 quantità, non con tre
Scusate ma c'è un piccolo problema, credo di averla risolta ma in realtà non è così, sarei arrivatoa questo punto dopo quello che mia vete detto voi con il criterio del rapporto:
[tex]{\frac{3n}{n+1}}^{n}[/tex]
Scuste ma non ho messo parentesi, verrebbe la frazione elvata ad n, ma così non vado da nessuna parte
Un mio collega mi ha detto che un professore ha detto che si può risolvere con gli sturmenti di analisi 4
Noi siamo alla 1, quindi se sapeste suggerire qualche altra cosa, vi ricordo che Starling non l'abbiamo fatto.
[tex]{\frac{3n}{n+1}}^{n}[/tex]
Scuste ma non ho messo parentesi, verrebbe la frazione elvata ad n, ma così non vado da nessuna parte
Un mio collega mi ha detto che un professore ha detto che si può risolvere con gli sturmenti di analisi 4
Noi siamo alla 1, quindi se sapeste suggerire qualche altra cosa, vi ricordo che Starling non l'abbiamo fatto.
"Orlok":
Io proverei col criterio del rapporto...nel confronto fra infiniti funziona sempre.
Scusate l'ignoranza... ma il criterio del rapporto non si usa per la convergenza di una serie?
Di conseguenza non mi pare appropriato usarlo per determinare la convergenza di una successione, dato che convergenza di serie e di relativa successione possono differire.
Scusate l'ignoranza... ma il criterio del rapporto non si usa per la convergenza di una serie?
No
Il criterio del rapporto nasce per le successioni, ed è anche a questo che tu puoi fare il confronto tra infiniti, perchè proprio con questo criterio si stabilisce la crescita asintotica delle successioni.
Si è usato anche per le serie, ma nasce per le successioni.
Sarà, ma non l'ho mai visto usare per le successioni, e, se non erro, la stessa dimostrazione di tale criterio si fonda sul fatto che la serie armonica diverge. Mi piacerebbe vedere una dimostrazione del suo uso nelle successioni!
Comunque, se questo criterio funziona anche per le successioni, si ha:
[tex]\lim \frac { 3^{n+1} \cdot (n+1)! \cdot n^n } { 3^n \cdot n! \cdot (n+1)^n \cdot (n+1) } =\lim 3 \cdot \frac {3^n}{3^n} \cdot \frac{n!}{n!} \cdot (n+1) \cdot (\frac {n}{n+1})^n \cdot \frac {1}{n+1} = \frac {3}{e} > 1[/tex]
Comunque, se questo criterio funziona anche per le successioni, si ha:
"guitarplaying":
[tex]\lim_{n \to \infty }\frac{3^nn!}{n^n}[/tex]
[tex]\lim \frac { 3^{n+1} \cdot (n+1)! \cdot n^n } { 3^n \cdot n! \cdot (n+1)^n \cdot (n+1) } =\lim 3 \cdot \frac {3^n}{3^n} \cdot \frac{n!}{n!} \cdot (n+1) \cdot (\frac {n}{n+1})^n \cdot \frac {1}{n+1} = \frac {3}{e} > 1[/tex]
No no scusate, sono io stupido il limite prima mi riusciva, il punto di accumulazione non c'è perchè è una successione quindi i calcoli fatti da me precedentemente sono giusti
Per quanto riguarda il criterio del rapporto per le successiioni, detto in soldoni dice che:
Sia an una successione, calcolia il limite della successione an+1/an, che sarà un valore l tale che:
Se l<1 allora la successione an converge a 0.
Se l>1 allora la successione diverge positivamente.
Se l=1 non possiamo dire nulla con questo criterio.
il limite prima mi riusciva, il punto di accumulazione non c'è perchè è una successione quindi i calcoli fatti da me precedentemente sono giusti Per quanto riguarda il criterio del rapporto per le successiioni, detto in soldoni dice che:
Sia an una successione, calcolia il limite della successione an+1/an, che sarà un valore l tale che:
Se l<1 allora la successione an converge a 0.
Se l>1 allora la successione diverge positivamente.
Se l=1 non possiamo dire nulla con questo criterio.
Ok. ( Chi fosse interessato, comunque... http://www.math.unipd.it/~motta/Didatti ... pporto.pdf )
Utilizza la prima parte della dimostrazione utilizzata per le serie
Utilizza la prima parte della dimostrazione utilizzata per le serie
secono me il fattoriale va approssimato con Stirling e poi si semplificherà qualcosa
$ lim_n (3^n * n!)/n^n$
Per criterio del rapporto:
$lim_n (3*(n+1)*n^n)/(n+1)^(n+1) = 3/e$
Successione divegente.
Per criterio del rapporto:
$lim_n (3*(n+1)*n^n)/(n+1)^(n+1) = 3/e$
Successione divegente
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