Limite di successione
Salve ragazzi è da tempo che non sono ormai tanto presente (causa università e problemi al pc)...
Ad ogni modo oggi sono qui per chiedervi una mano per un limite che trovo particolarmente ostico...
$lim(n->+infty)(ln(n!)/(nln(n)))$... avevo pensato di applicare il teorema dei carabinieri ma purtroppo mi fermo al fatto che la successione sia $<=1$
Il risultato del limite dovrebbe essere $1$
In più stavo tentando anche di dimostrare la stretta crescenza però senza successo...
Se ci fosse qualche anima pia disposta ad aiutarmi
le sarei ben grata
Ad ogni modo oggi sono qui per chiedervi una mano per un limite che trovo particolarmente ostico...
$lim(n->+infty)(ln(n!)/(nln(n)))$... avevo pensato di applicare il teorema dei carabinieri ma purtroppo mi fermo al fatto che la successione sia $<=1$
Il risultato del limite dovrebbe essere $1$
In più stavo tentando anche di dimostrare la stretta crescenza però senza successo...
Se ci fosse qualche anima pia disposta ad aiutarmi
le sarei ben grata
Risposte
Forse ti può essere d'aiuto stirling, che dice che $n!$ è asintoticamente equivalente a $(n/e)^nsqrt(2\pin)$
Dunque:
1) dai teoremi di Cesaro sai che $\root(n}\frac{n!}{n^n}\to 1/e$ (perche' $\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}\to 1/e$)
2) passando ai logaritmi ottieni $\frac{1}{n}\ln(n!)-\ln(n)\to -1$
3) dividendo per $ln(n)$ ottieni $\frac{\ln(n!)}{n\ln(n)}-1\to0$
Questo procedimento naturalmente richiedere di conoscere i teoremi di Cesaro, che per la verita' dicono di piu' del risultato
(se nel passaggio 1) al posto di $1/e$ ci fosse un altro numero positivo , purche' finito, sarebbe stato lo stesso alla fine). Quindi e'
probabile che si possa trovare un'altra strada, ma io non ne sono stato capace.
1) dai teoremi di Cesaro sai che $\root(n}\frac{n!}{n^n}\to 1/e$ (perche' $\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}\to 1/e$)
2) passando ai logaritmi ottieni $\frac{1}{n}\ln(n!)-\ln(n)\to -1$
3) dividendo per $ln(n)$ ottieni $\frac{\ln(n!)}{n\ln(n)}-1\to0$
Questo procedimento naturalmente richiedere di conoscere i teoremi di Cesaro, che per la verita' dicono di piu' del risultato
(se nel passaggio 1) al posto di $1/e$ ci fosse un altro numero positivo , purche' finito, sarebbe stato lo stesso alla fine). Quindi e'
probabile che si possa trovare un'altra strada, ma io non ne sono stato capace.
Anche io l'ho risolto stamani con i criteri di Cesaro Penso sia quella la strada giusta Grazie a tutti 
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