Limite di successione
Calcolare il limite (se esiste) della successione:
X0,X1,X2,....,Xn-1,Xn
in cui:
Xn=(Xn-1+Xn-2)/3
Ris. limite=(X0+2*X1)/3
karl.
X0,X1,X2,....,Xn-1,Xn
in cui:
Xn=(Xn-1+Xn-2)/3
Ris. limite=(X0+2*X1)/3
karl.
Risposte
A me sembra che la successione vada a zero...
Del resto se il limite esiste finito e vale L allora, passando al limite nella relazione ricorsiva, si ottiene:
L=2L/3
da cui L=0.
Non si capisce proprio da dove possa saltare fuori il risultato di Karl, ameno che ... x0+2x1=0 !!!!
Cavia
L=2L/3
da cui L=0.
Non si capisce proprio da dove possa saltare fuori il risultato di Karl, ameno che ... x0+2x1=0 !!!!
Cavia
Mi associo.
Ho fatto una verifica al computer ed i coefficienti di x0 ed x1 tendono a 0 rapidamente (come è giusto che sia a causa delle potenze di 1/3).
Bye.
Ho fatto una verifica al computer ed i coefficienti di x0 ed x1 tendono a 0 rapidamente (come è giusto che sia a causa delle potenze di 1/3).
Bye.
Il quesito e' mal posto:
si sarebbe ,da parte mia,dovuto chiedere la relazione
intercorrente tra X0 e X1 perche'potesse sussistere il limite
indicato.Questo tuttavia non esime dal verificare,
preventivamente, l'esistenza (o meno ) del limite e
cio' non puo' essere fatto ne' appoggiandosi a Derive,
ne' con un'ispezione visiva e ne' passando al limite
per n-->+inf nella relazione Xn=(Xn-1+Xn-2)/3.
Il procedimento effettivo e' piuttosto lungo:
se interessa in seguito ve lo posto.
Intanto voi potreste provare,se volete, ad esprimere Xn
in funzione di X0 ed X1 (da cui il limite).
karl.
Modificato da - karl il 13/03/2004 14:33:12
si sarebbe ,da parte mia,dovuto chiedere la relazione
intercorrente tra X0 e X1 perche'potesse sussistere il limite
indicato.Questo tuttavia non esime dal verificare,
preventivamente, l'esistenza (o meno ) del limite e
cio' non puo' essere fatto ne' appoggiandosi a Derive,
ne' con un'ispezione visiva e ne' passando al limite
per n-->+inf nella relazione Xn=(Xn-1+Xn-2)/3.
Il procedimento effettivo e' piuttosto lungo:
se interessa in seguito ve lo posto.
Intanto voi potreste provare,se volete, ad esprimere Xn
in funzione di X0 ed X1 (da cui il limite).
karl.
Modificato da - karl il 13/03/2004 14:33:12
Lavorando a questo problema da ... fisico, ho trovato alcune proprietà interessanti.
Scrivendo il termine generico della successione nel seguente modo :
X(n) = A(n)*X1 + B(n)*X0
si ha (già lo sapevamo) :
A(n) --> 0 per n --> 00
B(n) --> 0 per n --> 00
e (soprattutto) :
B(n) = A(n-1) / 3
A(n) / B(n) --> k per n --> 00
dove k = 2.302775737732 circa.
Ricavare la forma analitica di A(n) e B(n) in funzione di X1 ed X0 mi sembra una roba tosta.
Bye.
Scrivendo il termine generico della successione nel seguente modo :
X(n) = A(n)*X1 + B(n)*X0
si ha (già lo sapevamo) :
A(n) --> 0 per n --> 00
B(n) --> 0 per n --> 00
e (soprattutto) :
B(n) = A(n-1) / 3
A(n) / B(n) --> k per n --> 00
dove k = 2.302775737732 circa.
Ricavare la forma analitica di A(n) e B(n) in funzione di X1 ed X0 mi sembra una roba tosta.
Bye.
A me risulta (anche se non sono sicuro che tu richiedessi questo)
Xn = {[1+3(n-2)]X1 + [1+3(n-3)]X0}/3^(n-1)
WonderP.
Xn = {[1+3(n-2)]X1 + [1+3(n-3)]X0}/3^(n-1)
WonderP.
Un metodo elegante per risolvere questo tipo di problemi è utilizzare la trasformata Z.
Applicando la trasformata all'equazione data otteniamo:
X(z) = z * (zx0 + x1 + x0/3) / ( z^2 - z/3 - 1/3 )
Antitrasformando abbiamo:
x(n) = A*k^n + B*q^n
dove
k=(1/6)(1-sqrt(13))
q=(1/6)(1+sqrt(13))
A= (x1 + x0( 1/3 + k )) / (k-q)
B= x0-A
Essendo k e q in modulo minori di 1 la successione converge a 0.
Applicando la trasformata all'equazione data otteniamo:
X(z) = z * (zx0 + x1 + x0/3) / ( z^2 - z/3 - 1/3 )
Antitrasformando abbiamo:
x(n) = A*k^n + B*q^n
dove
k=(1/6)(1-sqrt(13))
q=(1/6)(1+sqrt(13))
A= (x1 + x0( 1/3 + k )) / (k-q)
B= x0-A
Essendo k e q in modulo minori di 1 la successione converge a 0.
Per WonderP :
la tua soluzione mi sembra vera solo per x3 e x4. Da x5 in poi mi sembra non esatta.
Puoi gentilmente verificare ? Se la tua soluzione è esatta le mie congetture sono errate e viceversa.
Bye.
la tua soluzione mi sembra vera solo per x3 e x4. Da x5 in poi mi sembra non esatta.
Puoi gentilmente verificare ? Se la tua soluzione è esatta le mie congetture sono errate e viceversa.
Bye.
Arriama, puoi provare, a partire dall'espressione che ho dato di x(n) (che è giusta, l'ho verificata con matlab e funziona), a raccogliere i termini x0 e x1 separatamente e vedere cosa viene fuori. Dovresti così ottenere i coefficienti che tu hai chiamato A(n) e B(n).
La relazione che ho io e' questa:
X(n)=[(a^(n)-b^(n))/(a-b)]*X1-ab*[(a^(n-1)-b^(n-1))/(a-b)]*X0
dove a+b=1/3 e a*b=-1/3.
Provate a vedere se coincide con quella proposta da
WonderP.
karl.
X(n)=[(a^(n)-b^(n))/(a-b)]*X1-ab*[(a^(n-1)-b^(n-1))/(a-b)]*X0
dove a+b=1/3 e a*b=-1/3.
Provate a vedere se coincide con quella proposta da
WonderP.
karl.
N.B.: Scusate, mi sono accorto che la relazione da me ricavata ha un baco... ovvero è rispettata la relazione x(n)=(1/3)*(x(n-1)+x(n-2)) per ogni n ma quello che ho chiamato x1 non è il secondo termine della successione come dovrebbe essere. Basta rigirare i termini in modo opportuno per far comparire il vero x1 cmq.
Scusate non avevo letto il post di Goblyn.
La mia soluzione non fa uso della trasformata
Z ma di un procedimento piu' elementare
di validita' comunque generale.
karl.
Modificato da - karl il 13/03/2004 18:18:05
La mia soluzione non fa uso della trasformata
Z ma di un procedimento piu' elementare
di validita' comunque generale.
karl.
Modificato da - karl il 13/03/2004 18:18:05
Si può trovare la soluzione di un'equazione alle differenze a coefficienti costanti calcolando le radici del polinomio caratteristico associato (mmm ho paura di aver detto strafalcioni...) cmq in parole povere...
Abbiamo
x(k+2)-x(k+1)-x(k) = 0
sostituiamo al posto di x(k+i) s^i
abbiamo
s^2-s-1 = 0
le cui soluzioni sono (1 +- radq(13))/6 che chiamiamo s1 ed s2
l'equazione generale è, come aveva scritto Goblyn:
A*s1^k +B*s2^k
con A e B da determinarsi in funzione di X(O) e X(1)
dato che s1 ed s2 in modulo sono minori di 1, l'equilibrio (che è 0) è asintoticamente stabile, ovvero la successione converge a 0
Se l'equazione non fosse stata omogenea (cioè avesse avuto anche un termine costante o dipendente da k) bisogna trovare anche una soluzione particolare. E qui è indispensabile la trasformata Zeta tranne che in casi particolari.
Modificato da - Asimov il 13/03/2004 21:02:50
Abbiamo
x(k+2)-x(k+1)-x(k) = 0
sostituiamo al posto di x(k+i) s^i
abbiamo
s^2-s-1 = 0
le cui soluzioni sono (1 +- radq(13))/6 che chiamiamo s1 ed s2
l'equazione generale è, come aveva scritto Goblyn:
A*s1^k +B*s2^k
con A e B da determinarsi in funzione di X(O) e X(1)
dato che s1 ed s2 in modulo sono minori di 1, l'equilibrio (che è 0) è asintoticamente stabile, ovvero la successione converge a 0
Se l'equazione non fosse stata omogenea (cioè avesse avuto anche un termine costante o dipendente da k) bisogna trovare anche una soluzione particolare. E qui è indispensabile la trasformata Zeta tranne che in casi particolari.
Modificato da - Asimov il 13/03/2004 21:02:50
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