Limite di successione

[francicko]

Volendo risolvere il limite di successione $lim root(n)(n!)$ senza ricorrere al criterio del rapporto od alla formula di Stirling, ed sapendo che $limroot(n)(n!)/n=1/e$(risolto senza I metodi citati) , non equivale a dire che all'infinito avremo l'approssimazione $e×root(n)(n!)~~n$ da cui si deduce essendo $e$ una costante che deve essere $limroot(n)(n!)=infty$, giusto?

[marco.ve1]

Mi pare giusto.

[pilloeffe]

Ciao francicko,

Una disuguaglianza che ti aiuta a risolvere il limite proposto (il risultato che hai scritto comunque è corretto) la puoi trovare in questo thread, comunque te la riporto qui:

$ e^{1/n} n/e <= \root(n)(n!) <= e^{1/n} n^{1/n} n/e $

Da cui si deduce subito che $\lim_{n \to +\infty} \root(n)(n!) = +\infty $

[francicko]

Ciao @pilloeffe!
Ok ma senza ricorrere alla formula di Stirling,od al criterio del rapporto, se non ricordo male, si può calcolare il limite della successione $root(n)(n!)/n$ che posso scrivere in modo equivalente $root(n)((n!)/(n^n)) $ e ponendo il limite nella forma $e^(1/nlog((n!)/n^n)$, risolvo il limite ad esponentente $lim 1/nlog((n!)/n^n)$ a questo punto scrivo $1/nlog((1×2×3×...×n) /n^n)$ $=1/nlog(1/n×2/n×3/n×...×1)$ e per la proprietà dei logaritmi scrivo ancora $lim1/n(log(1/n)+log(2/n)+log(3/n)+....+log(1))$ $~~int_(0)^(1)(logx)$ $=-1$ è sostituendo avrò il risultato $limroot(n) (n!)/n=e^(-1)=1/e$,naturalmente, considero i logaritmi in base $e$

[pilloeffe]

"francicko":Ok ma senza ricorrere alla formula di Stirling, od al criterio del rapporto, se non ricordo male, si può calcolare il limite della successione $(\root[n]n!)/n $

Certo, comunque quella catena di disuguaglianze è una stima elementare, non proviene dalla formula di Stirling (anche se poi è citata in https://it.wikipedia.org/wiki/Approssimazione_di_Stirling).

[francicko]

Si comunque per ottenere la disuguaglianza si passa sempre dalla tecnica delle somme parziali, che in sostanza è quello che ho utilizzato anche io.