Limite di successione

[lorenzo.pezzi94]

Ciao a tutti, ho un limite di successione che ho svolto attraverso gli sviluppi di taylor:

$lim n->∞ (n(1+e^-n)^(1/n)-ln(1+e^n))/sin^2(e^(-n)/n^(1/2)+1/(n!))$
Partendo dal numeratore:
$n(1+e^n)^(1/n) = n e^(ln(1+1/e^n)/n)$ sviluppo prima $ln (1+1/e^n) = 1/e^n - 1/(2e^(2n)) + 1/(3e^(3n))$
ed ho:
$ n e^((1/n)( 1/e^n - 1/(2e^(2n)) + 1/(3e^(3n)))$
sviluppo e^x come:
$1+ 1/e^n - 1/(2e^(2n)) + 1/(3e^(3n)) $
La mia domanda è: devo sviluppare anche $(1/e^n - 1/(2e^(2n)) + 1/(3e^(3n)))^2$

Poi tratterei $ln(1+e^n)$ come $n+ln(1+1/e^n)$ che è simile a sopra. (anche qui devo arrivare al quadrato o addirittura al cubo?)

Per il denominatore arrestandomi al primo ordine avrei:
$1/(e^(2n)n) + 1/(n!)^2 + 2/(e^(n)(n)^(1/2)(n!))$
Per il denominatore, tengo solamente $1/(e^(2n)n)$? perche va a 0 piu lentamente?

[gugo82]

"scartus":Ciao a tutti, ho un limite di successione che ho svolto attraverso gli sviluppi di taylor:

$lim_(n->oo) (n(1+e^-n)^(1/n)-ln(1+e^n))/sin^2(e^(-n)/n^(1/2)+1/(n!))$

Partendo dal numeratore:
$n(1+e^n)^(1/n) = n e^(ln(1+1/e^n)/n)$ sviluppo prima $ln (1+1/e^n) = 1/e^n - 1/(2e^(2n)) + 1/(3e^(3n))$
ed ho:
$ n e^((1/n)( 1/e^n - 1/(2e^(2n)) + 1/(3e^(3n)))$
sviluppo e^x come:
$1+ 1/e^n - 1/(2e^(2n)) + 1/(3e^(3n)) $
La mia domanda è: devo sviluppare anche $(1/e^n - 1/(2e^(2n)) + 1/(3e^(3n)))^2$

Sì, perchè anche il termine del secondo ordine dello sviluppo dell'esponenziale esterno ti fornisce un contributo del secondo ordine rispetto a $1/e^n$.

"scartus":Poi tratterei $ln(1+e^n)$ come $n+ln(1+1/e^n)$ che è simile a sopra. (anche qui devo arrivare al quadrato o addirittura al cubo?)

Sì.

"scartus":Per il denominatore arrestandomi al primo ordine avrei:
$1/(e^(2n)n) + 1/(n!)^2 + 2/(e^(n)(n)^(1/2)(n!))$
Per il denominatore, tengo solamente $1/(e^(2n)n)$? perche va a 0 piu lentamente?

Sì.