Limite di successione
Ciao a tutti! Vorrei che mi deste una mano nel risolvere il seguente limite, non riesco a cavarci il ragno dal buco... 
$\lim_{n \to \infty}((root(2n)(n!))*arcsin((sqrt(n+2))/(n))$. Il risultato è $1/sqrt(e)$.
Vi mostro il mio tentativo di risoluzione, anche se ho l'impressione che mi sia complicato la vita e basta:
prima di tutto ho considerato che, per n-->$infty$, si ha che l'argomento dell'arcsin tende a 0 in quanto, semplificandolo, si ottiene $1/sqrt(n)$. Dunque usando il limite notevole ho riscritto $\lim_{n\to\infty}((root(2n)(n!))*(1/sqrt(n))$.
A questo punto ho provato a fare un passaggio all'esponenziale, ottenendo $\lim_{n \to \infty}(e^log((root(2n)(n!))/sqrt(n)))$.
A questo punto non riesco più ad andare avanti, anche semplificando non riesco a ottenere il risultato giusto...
$\lim_{n \to \infty}((root(2n)(n!))*arcsin((sqrt(n+2))/(n))$. Il risultato è $1/sqrt(e)$.
Vi mostro il mio tentativo di risoluzione, anche se ho l'impressione che mi sia complicato la vita e basta:
prima di tutto ho considerato che, per n-->$infty$, si ha che l'argomento dell'arcsin tende a 0 in quanto, semplificandolo, si ottiene $1/sqrt(n)$. Dunque usando il limite notevole ho riscritto $\lim_{n\to\infty}((root(2n)(n!))*(1/sqrt(n))$.
A questo punto ho provato a fare un passaggio all'esponenziale, ottenendo $\lim_{n \to \infty}(e^log((root(2n)(n!))/sqrt(n)))$.
A questo punto non riesco più ad andare avanti, anche semplificando non riesco a ottenere il risultato giusto...
Risposte
Conosci l'approssimazione di Stirling? Potresti provare ad applicarla, se la conosci!
Comunque non si va al limite a pezzi, ossia non si sostituisce il limite notevole prima di aver fatto tendere tutto al limite; piuttosto usa gli sviluppi di Taylor (se li conosci)
Comunque non si va al limite a pezzi, ossia non si sostituisce il limite notevole prima di aver fatto tendere tutto al limite; piuttosto usa gli sviluppi di Taylor (se li conosci)
Sì hai ragione, quello è un erroraccio! Comunque no, non conosco l'approssimazione di Stirling... Conosco Taylor, solo che l'esercizio andrebbe teoricamente risolto senza utilizzarlo.
Credo sia opportuno usare Stirling qui. Comunque ti basti sapere che è una stima per il fattoriale quando $n \to +\infty$: hai che $n! =\sqrt{2\pi n}\frac{n^n}{e^n}+o\left(\frac{1}{12n}\right)$.
Usando questa ti dovrebbe venire bene il limite: procedi come prima sull'arcoseno (formati il limite notevole, ma passa al limite contemporaneamente!).
Usando questa ti dovrebbe venire bene il limite: procedi come prima sull'arcoseno (formati il limite notevole, ma passa al limite contemporaneamente!).
Altrimenti puoi risolverlo usando questo limite: $\lim_{n\to+\infty}root{n}{n!}/n=1/e$, che non so se conosci.
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