Limite di successione

[laio_a]

Salve a tutti, per il seguente limite di successione $lim_{n \to +\infty} (((n-1)!(n-2))/(n!))^{n^3} e^{2n^2+2n} $
ho provato in questo modo $lim_{n \to +\infty} ((((n!)/n)(n-2))/(n!))^{n^3} e^{2n^2+2n} $ =
$lim_{n \to +\infty} (((n-2)/n)^{n^3} e^{2n^2+2n}) $ e, siccome $ ((n-2)/n) = (1 + (-2/n)) $ ho usato $lim_{n \to +\infty} (1+a/n)^{n} = e^{a}$ e quindi $lim_{n \to +\infty} (e^{-2n^2} e^{2n^2+2n}) $ ma il limite finale risulta $ e^{-8/3} $ . Cosa ho sbagliato?

[pilloeffe]

Ciao laio_a,

"laio_a":Cosa ho sbagliato?

Hai sbagliato che quando passi al limite devi farlo per tutto, non puoi farlo solo per ciò che ti fa comodo...
Riprendiamo da qui:

$ lim_{n \to +\infty} [((n-2)/n)^{n^3} e^{2n^2+2n}] = lim_{n \to +\infty} e^{n^3 ln(1 - 2/n)} e^{2n^2+2n} = lim_{n \to +\infty} e^{n^3 ln(1 - 2/n) + 2n^2+2n} = $
$ = lim_{n \to +\infty} e^{n^3[ln(1 - 2/n) + 2/n + 2/n^2]} = lim_{n \to +\infty} e^{n^3[-2/n -2/n^2 - frac{8}{3n^3} + o(1/n^4) + 2/n + 2/n^2]} = lim_{n \to +\infty} e^{- frac{8}{3} + o(1/n)} = e^{-8/3} $

[laio_a]

Troppo forte pilloeffe!! Grazie! Una domanda, dal terzultimo passaggio al penultimo hai applicato lo sviluppo di Taylor al logaritmo fino al terzo ordine?? Io ho riprovato ed ho $ o(1/n^{3}) $ invece di $ o(1/n^{4}) $, per il resto viene