Limite di successione
\( \lim_{n\rightarrow oo}\sqrt[n]{\frac{3n+2}{n^2}} \) . devo calcolare tale limite e ho pensato alla formula (n+1)/n ma non mi esce. Chi mi aiuta? Grazie mille
Risposte
Ciao valeria1,
Il 4° Teorema di Cesàro afferma che se la successione $a_n $ è positiva $\AA n \in \NN $, se
$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = l \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = l $
Nel caso in esame, posto $a_n := frac{3n + 2}{n^2} \implies a_{n+1} = frac{3(n + 1) + 2}{(n + 1)^2} = frac{3n + 5}{(n + 1)^2} $ e quindi si ha:
$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{frac{3n + 5}{(n + 1)^2}}{frac{3n + 2}{n^2}} = 1 \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = lim_{n \to +\infty} root[n]{frac{3n + 2}{n^2}} = 1 $
Il 4° Teorema di Cesàro afferma che se la successione $a_n $ è positiva $\AA n \in \NN $, se
$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = l \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = l $
Nel caso in esame, posto $a_n := frac{3n + 2}{n^2} \implies a_{n+1} = frac{3(n + 1) + 2}{(n + 1)^2} = frac{3n + 5}{(n + 1)^2} $ e quindi si ha:
$ lim_{n \to +\infty} frac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n \to +\infty} frac{frac{3n + 5}{(n + 1)^2}}{frac{3n + 2}{n^2}} = 1 \implies lim_{n \to +\infty} root[n]{a_n} = lim_{n \to +\infty} root[n]{frac{3n + 2}{n^2}} = 1 $
Grazie mille mi ha chiarito molto la situazione:))
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