Limite di successione
Ho questo limite:
$lim _(n to infty) (e^(2/n^3)-1)/(sin(1/n)-1/n)[log(1+1/(4n))^n]$
Applico alcune equivalenze e ho:
$lim _(n to infty) 2/n^3*1/(sin(1/n)-1/n)*1/4$
Ho provato a moltiplicare per $sin(1/n)+1/n$ e altre svariate prove ma non riesco ad uscirne.. qualche aiuto? (vorrei svolgerlo senza de l'hopital)
$lim _(n to infty) (e^(2/n^3)-1)/(sin(1/n)-1/n)[log(1+1/(4n))^n]$
Applico alcune equivalenze e ho:
$lim _(n to infty) 2/n^3*1/(sin(1/n)-1/n)*1/4$
Ho provato a moltiplicare per $sin(1/n)+1/n$ e altre svariate prove ma non riesco ad uscirne.. qualche aiuto? (vorrei svolgerlo senza de l'hopital)
Risposte
Il limite a cui sei arrivato è proprio uno di quelli classici che si svolgono con il teorema di De L'Hopital o con gli sviluppi di Taylor. Posto $y = \frac{1}{n}$ ottieni
\[ \lim_{y \to 0^+} \frac{2y^3}{\sin y - y} .\]
\[ \lim_{y \to 0^+} \frac{2y^3}{\sin y - y} .\]
Ciao Anacleto13,
Se proprio insisti nel non volerlo risolvere con la regola di De l'Hopital:
$lim_{n to +\infty}frac{e^(2/n^3)-1}{sin(1/n)-1/n}[log(1+1/(4n))^n] = lim_{n to +\infty} (e^(1/n^3)+1) lim_{n to +\infty}frac{e^(1/n^3)-1}{sin(1/n)-1/n}[nlog(1+1/(4n))] =$
$= lim_{n to +\infty} (e^(1/n^3)+1) \cdot lim_{n to +\infty}frac{e^(1/n^3)-1}{sin(1/n)-1/n} frac{1}{4} frac{log(1+1/{4n})}{1/{4n}} = $
$ = frac{1}{4} lim_{n to +\infty} frac{log(1+1/{4n})}{1/{4n}} \cdot lim_{n to +\infty} (e^(1/n^3)+1) \cdot lim_{n to +\infty}frac{e^(1/n^3)-1}{sin(1/n)-1/n} = $
$= frac{1}{4} lim_{n to +\infty} frac{log(1+1/{4n})}{1/{4n}} \cdot lim_{n to +\infty} (e^(1/n^3)+1) \cdot lim_{n to +\infty} frac{e^(1/n^3)-1}{1/n^3} \cdot lim_{n to +\infty} frac{1/n^3}{sin(1/n)-1/n} = $
$ = frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (- 6) = - 3$
Se proprio insisti nel non volerlo risolvere con la regola di De l'Hopital:
$lim_{n to +\infty}frac{e^(2/n^3)-1}{sin(1/n)-1/n}[log(1+1/(4n))^n] = lim_{n to +\infty} (e^(1/n^3)+1) lim_{n to +\infty}frac{e^(1/n^3)-1}{sin(1/n)-1/n}[nlog(1+1/(4n))] =$
$= lim_{n to +\infty} (e^(1/n^3)+1) \cdot lim_{n to +\infty}frac{e^(1/n^3)-1}{sin(1/n)-1/n} frac{1}{4} frac{log(1+1/{4n})}{1/{4n}} = $
$ = frac{1}{4} lim_{n to +\infty} frac{log(1+1/{4n})}{1/{4n}} \cdot lim_{n to +\infty} (e^(1/n^3)+1) \cdot lim_{n to +\infty}frac{e^(1/n^3)-1}{sin(1/n)-1/n} = $
$= frac{1}{4} lim_{n to +\infty} frac{log(1+1/{4n})}{1/{4n}} \cdot lim_{n to +\infty} (e^(1/n^3)+1) \cdot lim_{n to +\infty} frac{e^(1/n^3)-1}{1/n^3} \cdot lim_{n to +\infty} frac{1/n^3}{sin(1/n)-1/n} = $
$ = frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (- 6) = - 3$
@pilloeffe: Come avresti calcolato il seguente limite?
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{\sin \left (\frac{1}{n} \right )-\frac{1}{n}} \]
\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{1}{n^3}}{\sin \left (\frac{1}{n} \right )-\frac{1}{n}} \]
Ciao Seneca,
Sviluppando il denominatore come hai scritto anche tu:
D'altronde Anacleto13 aveva espresso il desiderio di una soluzione senza l'uso della regola di De l'Hopital
ma non ha scritto niente in merito agli sviluppi di Taylor, che quindi ho dato per concessi...
Sviluppando il denominatore come hai scritto anche tu:
"Seneca":
... o con gli sviluppi di Taylor.
D'altronde Anacleto13 aveva espresso il desiderio di una soluzione senza l'uso della regola di De l'Hopital
"Anacleto13":
vorrei svolgerlo senza de l'hopital
ma non ha scritto niente in merito agli sviluppi di Taylor, che quindi ho dato per concessi...
Grazie delle risposte,
In realtà era più una mia curiosità non volevo applicare nessun Taylor/hopital ma solo equivalenze/raccoglimenti, ma a quanto sembra è impossibile senza
In realtà era più una mia curiosità non volevo applicare nessun Taylor/hopital ma solo equivalenze/raccoglimenti, ma a quanto sembra è impossibile senza
Ciao Anacleto13,
Impossibile è una parola grossa...
Diciamo che casomai è più lungo e quindi decisamente poco opportuno, vista poi la facilità con cui lo si può risolvere con gli sviluppi di Taylor...
Accogliendo proprio il suggerimento di Seneca, cioè ponendo $y := 1/n$, per evitare di portarci dietro il termine $1/n$, si tratta di trovare il risultato del limite seguente:
$\lim_{y \to 0^+} \frac{y^3}{\sin y - y}$
Osservando poi che la funzione $f(y) := frac{y^3}{\sin y - y}$ è pari (quoziente di funzioni dispari), possiamo semplificare ulteriormente scrivendo $0$ al posto di $0^+$. Si ha:
$\lim_{y \to 0} frac{y^3}{\sin y - y} = k$
Ponendo $y := 2x$, si ha:
$k = \lim_{x \to 0} \frac{(2x)^3}{\sin(2x) - 2x} = - \lim_{x \to 0} \frac{8x^3}{2x - 2 \sin x \cos x} =$
$ = - \lim_{x \to 0} \frac{8x^3}{2x - 2 \sin x + 2 \sin x - 2 \sin x \cos x} =$
$ = - \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{2x - 2 \sin x}{8x^3} + \frac{2 \sin x(1 - \cos x )}{8x^3}} =$
$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{4}\frac{\sin x - x}{x^3} - \frac{1}{4}\frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^3}} = \lim_{x \to 0} \frac{4}{\frac{\sin x - x}{x^3} - \frac{\sin x}{x}\frac{1 - \cos x}{x^2}} =$
$= \frac{4}{\frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin x - x}} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\frac{1 - \cos x}{x^2}} = \frac{4}{\frac{1}{k} - \frac{1}{2}}$
Perciò in definitiva si ha:
$k(1/k - 1/2) = 4 \implies 1 - k/2 = 4 \implies k = - 6$
Impossibile è una parola grossa...
Diciamo che casomai è più lungo e quindi decisamente poco opportuno, vista poi la facilità con cui lo si può risolvere con gli sviluppi di Taylor...
Accogliendo proprio il suggerimento di Seneca, cioè ponendo $y := 1/n$, per evitare di portarci dietro il termine $1/n$, si tratta di trovare il risultato del limite seguente:
$\lim_{y \to 0^+} \frac{y^3}{\sin y - y}$
Osservando poi che la funzione $f(y) := frac{y^3}{\sin y - y}$ è pari (quoziente di funzioni dispari), possiamo semplificare ulteriormente scrivendo $0$ al posto di $0^+$. Si ha:
$\lim_{y \to 0} frac{y^3}{\sin y - y} = k$
Ponendo $y := 2x$, si ha:
$k = \lim_{x \to 0} \frac{(2x)^3}{\sin(2x) - 2x} = - \lim_{x \to 0} \frac{8x^3}{2x - 2 \sin x \cos x} =$
$ = - \lim_{x \to 0} \frac{8x^3}{2x - 2 \sin x + 2 \sin x - 2 \sin x \cos x} =$
$ = - \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{2x - 2 \sin x}{8x^3} + \frac{2 \sin x(1 - \cos x )}{8x^3}} =$
$ = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{4}\frac{\sin x - x}{x^3} - \frac{1}{4}\frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^3}} = \lim_{x \to 0} \frac{4}{\frac{\sin x - x}{x^3} - \frac{\sin x}{x}\frac{1 - \cos x}{x^2}} =$
$= \frac{4}{\frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{\sin x - x}} - \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\frac{1 - \cos x}{x^2}} = \frac{4}{\frac{1}{k} - \frac{1}{2}}$
Perciò in definitiva si ha:
$k(1/k - 1/2) = 4 \implies 1 - k/2 = 4 \implies k = - 6$
×@pilloeffe.
Stai supponendo che $lim_(y->0)y^3/(siny-y)=k $, quindi l'esistenza del limite, ma questo non è per niente scontato, potrebbe benissimo non esistere!
Stai supponendo che $lim_(y->0)y^3/(siny-y)=k $, quindi l'esistenza del limite, ma questo non è per niente scontato, potrebbe benissimo non esistere!
Ciao francicko,
Scusami, leggo solo ora il tuo post...
Certo, non è scontato, ma l'ipotesi è lecita: avessi poi trovato qualcosa di incoerente con l'ipotesi fatta, avrei concluso che la mia ipotesi era errata cospargendomi il capo di cenere...
Scusami, leggo solo ora il tuo post...
"francicko":
Stai supponendo che $lim_{y \to 0}frac{y^3}{siny−y}=k$, quindi l'esistenza del limite, ma questo non è per niente scontato
Certo, non è scontato, ma l'ipotesi è lecita: avessi poi trovato qualcosa di incoerente con l'ipotesi fatta, avrei concluso che la mia ipotesi era errata cospargendomi il capo di cenere...
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