Limite di successione
salve a tutti ho difficoltà con il seguente limite di successione:
$\lim_{n \to \infty} n^(2n)(1+7/n)^nsin(n^(-n) )1/(sqrt{n^3+n^(2n)}-sqrt{n^3})$
io ho fatto così ho applicato subito il limite notevole a $(1+7/n)^n$ che è uguale a $e^7$ e anche al seno moltiplicando e dividendo per $n^(-n)$ così che $sin(n^(-n))/(n^(-n))$ sia uguale a $1$. Inoltre ho razionalizzato $1/(sqrt{n^3+n^(2n)}-sqrt{n^3})$ otenendo alla fine:
$\lim_{n \to \infty} n^(-n) n^(2n)e^7 (sqrt{n^3+n^(2n)}+sqrt{n^3})/n^(2n)$ e quindi
$\lim_{n \to \infty} n^(-n)e^7 (sqrt{n^3+n^(2n)}+sqrt{n^3})$
ecco io mi sono bloccato qua non sò come andare avanti qualcuno saprebbe aiutarmi e dirmi se i passaggi che ho fatto sono corretti? grazie mille in anticipo!
$\lim_{n \to \infty} n^(2n)(1+7/n)^nsin(n^(-n) )1/(sqrt{n^3+n^(2n)}-sqrt{n^3})$
io ho fatto così ho applicato subito il limite notevole a $(1+7/n)^n$ che è uguale a $e^7$ e anche al seno moltiplicando e dividendo per $n^(-n)$ così che $sin(n^(-n))/(n^(-n))$ sia uguale a $1$. Inoltre ho razionalizzato $1/(sqrt{n^3+n^(2n)}-sqrt{n^3})$ otenendo alla fine:
$\lim_{n \to \infty} n^(-n) n^(2n)e^7 (sqrt{n^3+n^(2n)}+sqrt{n^3})/n^(2n)$ e quindi
$\lim_{n \to \infty} n^(-n)e^7 (sqrt{n^3+n^(2n)}+sqrt{n^3})$
ecco io mi sono bloccato qua non sò come andare avanti qualcuno saprebbe aiutarmi e dirmi se i passaggi che ho fatto sono corretti? grazie mille in anticipo!
Risposte
Porta $n^{-n}=1/{n^n}$ dentro le due radici :
$e^7 lim_{n->infty}(sqrt{1/{n^{2n-3}}+1}+sqrt{1/{n^{2n-3}}})=e^7(sqrt(0+1)+sqrt(0))=e^7$
$e^7 lim_{n->infty}(sqrt{1/{n^{2n-3}}+1}+sqrt{1/{n^{2n-3}}})=e^7(sqrt(0+1)+sqrt(0))=e^7$
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