Limite di successione

[PaoloC94]

salve a tutti mi sono imbattuto in questo limite $\lim_{n \to \infty}[(n-2)! n^(n+2)-(n+1)! n^(n-1)]/[n^n((n-2)!+3^n)]$. Il libro lo risolve facendo un raccoglimento sia denominatore che a numeratore :
$\lim_{n \to \infty} [[(n-2)!n^(n-1)(n^3-(n+1)n(n-1)]]/[[n^n(n-2)!(1+ n^3/((n-2)!))]]$
$\lim_{n \to \infty} [[(n^3-(n^3-n)]]/[[n(1+n^3/((n-2)!))]]$
$\lim_{n \to \infty} [[1]]/[[(1+n^3/((n-2)!))]]$

e conclude dicendo che $\lim_{n \to \infty} n^3/((n-2)!)$ è uguale a 0 e quindi il limite vale 1

detto ciò mi chiedevo se qualcuno lo avrebbe risolto in diverso modo magari con un metodo più intuitivo perchè io ho provato con un altro metodo ma non mi esce e di raccogliere come fa nell' esercizio non mi viene affatto spontaneo grazie in anticipo

[gugo82]

Il raccoglimento è la strada algebrica più semplice... In fondo, si tratta sempre della stessa vecchia regola che si conosce dal primo anno di superiori.

Infatti, usando le proprietà basilari del fattoriale e delle potenze, trovi:
\[
\begin{split}
(n-2)!\ n^{n+2} - (n+1)!\ n^{n-1} &= (n-2)!\ n^{n-1}\ n^3 - (n+1)\ n\ (n-1)\ (n-2)!\ n^{n-1} \\
&= (n-2)!\ n^{n-1}\ \big( n^3 - n^3+n\big)\\
&= (n-2)!\ n^n
\end{split}
\]
ed:
\[
\begin{split}
n^n \big( (n-2)! +n^3\big) &= (n-2)!\ n^n\ \left( 1+ \frac{n^3}{(n-2)!}\right)
\end{split}
\]
sicché:
\[
\begin{split}
\frac{(n-2)!\ n^{n+2} - (n+1)!\ n^{n-1}}{n^n \big( (n-2)! +n^3\big)} &= \frac{(n-2)!\ n^n}{(n-2)!\ n^n\ \left( 1+ \frac{n^3}{(n-2)!}\right)}\\
&= \frac{1}{ 1+ \frac{n^3}{(n-2)!}}
\end{split}
\]
con l'ultimo membro che tende a \(1\).

Altrimenti dovresti usare la cosiddetta approssimazione di Stirling, i.e.:
\[
n! \approx S\ \frac{1}{e^n}\ n^{n+\frac{1}{2}}
\]
(in cui \(S>0\) è un'opportuna costante, per la precisione \(S=\sqrt{2\pi}\)) per levarti di mezzo i fattoriali ed operare in tranquillità con esponenziali o cose simili.

[PaoloC94]

"gugo82":Il raccoglimento è la strada algebrica più semplice... In fondo, si tratta sempre della stessa vecchia regola che si conosce dal primo anno di superiori.

Infatti, usando le proprietà basilari del fattoriale e delle potenze, trovi:
\[
\begin{split}
(n-2)!\ n^{n+2} - (n+1)!\ n^{n-1} &= (n-2)!\ n^{n-1}\ n^3 - (n+1)\ n\ (n-1)\ (n-2)!\ n^{n-1} \\
&= (n-2)!\ n^{n-1}\ \big( n^3 - n^3+n\big)\\
&= (n-2)!\ n^n
\end{split}
\]
ed:
\[
\begin{split}
n^n \big( (n-2)! +n^3\big) &= (n-2)!\ n^n\ \left( 1+ \frac{n^3}{(n-2)!}\right)
\end{split}
\]
sicché:
\[
\begin{split}
\frac{(n-2)!\ n^{n+2} - (n+1)!\ n^{n-1}}{n^n \big( (n-2)! +n^3\big)} &= \frac{(n-2)!\ n^n}{(n-2)!\ n^n\ \left( 1+ \frac{n^3}{(n-2)!}\right)}\\
&= \frac{1}{ 1+ \frac{n^3}{(n-2)!}}
\end{split}
\]
con l'ultimo membro che tende a \(1\).

Altrimenti dovresti usare la cosiddetta approssimazione di Stirling, i.e.:
\[
n! \approx S\ \frac{1}{e^n}\ n^{n+\frac{1}{2}}
\]
(in cui \(S>0\) è un'opportuna costante, per la precisione \(S=\sqrt{2\pi}\)) per levarti di mezzo i fattoriali ed operare in tranquillità con esponenziali o cose simili.

ei ciao grazie per la risposta adesso i passaggi mi sono un pò più chiari e mi risultano più semplici l' unica cosa che non riesco a capire è come sia passato da $- (n+1)!$ a $ - (n+1)\ n\ (n-1)\ (n-2)!$, me lo potresti spiegare per piacere? grazie ancora per la prima rsposta

[gugo82]

Si usa la definizione di fattoriale, se vuoi... Infatti, per definizione:
\[
\begin{split}
(n+1)! &:= (n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot \underbrace{(n-2)\cdot (n-3) \cdots 3\cdot 2\cdot 1}_{=(n-2)!}\\
&= (n+1)\cdot n\cdot (n-1)\cdot (n-2)!
\end{split}
\]