Limite di successione

[Shiroga]

Ho provato a svolgere il seguente esercizio ma non il risultato non è stato quello sperato.

$ \lim_{n\to\infty}\frac{n-4}{3n+1} = frac{1}{3} $

io ho proceduto come ho fatto per tutti gli esercizi (che per inciso mi hanno portato al giusto risultato)

$ |frac{n-4}{3n+1} - frac{1}{3}| < \epsilon $

ho sviluppato la frazione dentro il valore assoluto e mi ha portato a questo

$ |frac{3(n-4)-(3n+1)}{(3n+1)3}| < \epsilon $

Dopo di che ho proceduto con i calcoli sviluppando le moltiplicazioni

$ |frac{3n -12 -3n -1}{(3n +1)3}|<\epsilon $

Ho ottenuto la seguente frazione

$ |frac{-13}{(3n+1)3}| < \epsilon $

Ho tirato fuori dal valore assoluto (senza alterare in alcun modo la funzione come ho visto fare dagli esercizi esplicativi del libro) e ho moltiplicato entrambi i membri per il denominatore al fine di ricavarmi "n"

$ -13 < 9n\epsilon +3\epsilon \Rightarrow -13 -3\epsilon < 9n\epsilon $

fino poi ad ottenere quello che è il mio risultato

$ per frac{-13 -3\epsilon}{9\epsilon} < n \Rightarrow \nu=frac{-13 -3\epsilon}{9\epsilon} $

risultato riportato sul libro:

$ frac{frac{13}{\epsilon-3}}{9} $


è il mio primo post quindi vi chiedo di perdonare eventuali errori. Credo di non aver commesso alcun errore e di essere stato abbastanza chiaro. Grazi mille a tutti! Riporto qui sotto la teoria a cui si rifà il mio testo e che io seguo per lo sviluppo degli esercizi affinché terminologia e simbologia siano chiari a coloro che leggono il post.

$ \lim_{n\to\infty} an = a $ oppure $an \rightarrow a$

Se ∀n ∈ R $\epsilon$ > 0 $\exists$ $\nu$ : |an -a| < $\epsilon$ ∀n > $\nu $

[theras]

Ciao,e benvenuta/o in questo Forum.
Osserva che la disequazione,visto il segno dei termini in essa coinvolti("obbligato" dalla natura di $n in NN$..),
puoi scriverla nella forma $3n+1>13/3 epsilon$:
dovrebbe saltarti fuori $n>(13-3epsilon)/9$,che mi pare più convincente .
Saluti dal web.