Limite di succesione
Ciao a tutti
propongo un limite di succesione che non riesco a risolvere
$\lim_{n\to+\infty} (1+1/logn)^loglogn$
l idea sarebbe la seguente: ho al denominatore $logn$ e tutta la succesione è elevata ad $loglogn$ quindi intutitivamente gli piazzerei un bel $e$ e problema risolto.MA $loglogn$ è più lenta di $logn$ quindi dovrei liberarmi di quel $log$ di troppo ma non so come fare....qualche anima pia ha un idea da suggerirmi??
Grazie a tutti
propongo un limite di succesione che non riesco a risolvere
$\lim_{n\to+\infty} (1+1/logn)^loglogn$
l idea sarebbe la seguente: ho al denominatore $logn$ e tutta la succesione è elevata ad $loglogn$ quindi intutitivamente gli piazzerei un bel $e$ e problema risolto.MA $loglogn$ è più lenta di $logn$ quindi dovrei liberarmi di quel $log$ di troppo ma non so come fare....qualche anima pia ha un idea da suggerirmi??
Grazie a tutti
Risposte
più semplicemente usando la proprietà dei logartimi $\ln (a^b)=b \ln a$
$\ln((1+(1)/(\ln n))^(\ln(\ln n)))=\ln(\ln n)\cdot \ln(1+(1)/(\ln n))$
adesso sfruttando il fatto che $\ln(1+\epsilon_n)=\epsilon_n+o(\epsilon_n)$
$(\ln(\ln n))/(\ln n)$ e questo per $n\to +\infty$ fa?
$\ln((1+(1)/(\ln n))^(\ln(\ln n)))=\ln(\ln n)\cdot \ln(1+(1)/(\ln n))$
adesso sfruttando il fatto che $\ln(1+\epsilon_n)=\epsilon_n+o(\epsilon_n)$
$(\ln(\ln n))/(\ln n)$ e questo per $n\to +\infty$ fa?
ciao, grazie per la risposta...ma niente sviluppi notevoli...non li ho ancora studiati quindi il limite andrebbe risolto senza
avevo sbagliato!.. ho ricorretto!..
@enzolo89
ora ho ricorretto il limite! prima avevo sbagliato!
ora ho ricorretto il limite! prima avevo sbagliato!
scusa ma quel $ln$ davanti alla succesione da dove salta fuori??
$\ln$ è il logaritmo in base naturale
in genere al giorno d'oggi si usa sempre $log$ per indicare $\ln$.. ma io preferisco la scrittura antica XD
in genere al giorno d'oggi si usa sempre $log$ per indicare $\ln$.. ma io preferisco la scrittura antica XD
si ok l avevo capito...ma nella succesione di partenza (quella che ho postato io) non compare...non mi torna qualcosa...
posso mettere log davanti alla succesione senza che succeda nulla??
posso mettere log davanti alla succesione senza che succeda nulla??
osp hai ragione!..avevo visto male XD..ci ho messo un $\ln $ di troppo!
Allora era giusta la mia soluzione di prima!.. Chiedo scusa ma con questo caldo non ci sto più a capire nulla.. sono a casa con il ventilatore addosso ma ho caldo lo stesso!
allora devi fare come ho fatto prima..
$\exp\{\ln(\ln n)\ln(1+(1)/(\ln n))\}=\exp\{\ln(\ln)\cdot ((1)/(\ln n)+\o((1)/(\ln n)))}=\exp\{(\ln(\ln n))/(\ln n)+o((1)/(\ln n))\}=$
$=\exp\{(\ln(\ln n))/(\ln n)\} \cdot \exp\{o(1)/(\ln n)\}$
ora come prima per $n\to +\infty$ quanto viene $\exp\{(\ln(\ln n))/(\ln n)\} $ ?
poi $\exp(o(1)/(\ln n))$ è un esponenziale elevato a una quantità infinitesima!..viene 1
Allora era giusta la mia soluzione di prima!.. Chiedo scusa ma con questo caldo non ci sto più a capire nulla.. sono a casa con il ventilatore addosso ma ho caldo lo stesso!
allora devi fare come ho fatto prima..
$\exp\{\ln(\ln n)\ln(1+(1)/(\ln n))\}=\exp\{\ln(\ln)\cdot ((1)/(\ln n)+\o((1)/(\ln n)))}=\exp\{(\ln(\ln n))/(\ln n)+o((1)/(\ln n))\}=$
$=\exp\{(\ln(\ln n))/(\ln n)\} \cdot \exp\{o(1)/(\ln n)\}$
ora come prima per $n\to +\infty$ quanto viene $\exp\{(\ln(\ln n))/(\ln n)\} $ ?
poi $\exp(o(1)/(\ln n))$ è un esponenziale elevato a una quantità infinitesima!..viene 1
ok grazie tende tende a 1 giusto? perchè $loglogn/logn$ tende a 0...vero?
"enzolo89":
ok grazie tende tende a 1 giusto? perchè $loglogn/logn$ tende a 0...vero?
sì..perchè $\ln n$ è più forte di $\ln(\ln n)$
ok...grazie 
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