Limite di succ. con fattoriale
So che $lim_(n) (log(n!))/(n log(n) ) = 1$.
Ma (forse) posso scrivere...
$lim_(n) (log(n) + log(n - 1) + log( n - 2 ) + ... + log( 3 ) + log( 2 ) + 0 )/(n log(n) ) $
$= lim_(n) (log(n))/(n log(n) ) + (log(n - 1))/(n log(n) ) + (log( n - 2 ))/(n log(n) ) + ... + (log( 3 ))/(n log(n) ) + (log( 2 ))/(n log(n) ) $
$= 0 + 0 + ... + 0 + 0$
L'inghippo deve stare nei puntini "..." . Come mai non funziona il ragionamento?
Ma (forse) posso scrivere...
$lim_(n) (log(n) + log(n - 1) + log( n - 2 ) + ... + log( 3 ) + log( 2 ) + 0 )/(n log(n) ) $
$= lim_(n) (log(n))/(n log(n) ) + (log(n - 1))/(n log(n) ) + (log( n - 2 ))/(n log(n) ) + ... + (log( 3 ))/(n log(n) ) + (log( 2 ))/(n log(n) ) $
$= 0 + 0 + ... + 0 + 0$
L'inghippo deve stare nei puntini "..." . Come mai non funziona il ragionamento?
Risposte
Esempio simile, ma più semplice.
Sai che [tex]$\lim_n \frac{n}{n+1} =1$[/tex]; però puoi scrivere anche:
[tex]$\lim_n \frac{\overbrace{1+1+\ldots +1}^{\text{$n$ volte}}}{n+1} =\lim_n \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1} +\ldots +\frac{1}{n+1}=0+0+\ldots +0$[/tex]
da cui [tex]$1=0$[/tex]... Dove sta l'errore secondo te?
Sai che [tex]$\lim_n \frac{n}{n+1} =1$[/tex]; però puoi scrivere anche:
[tex]$\lim_n \frac{\overbrace{1+1+\ldots +1}^{\text{$n$ volte}}}{n+1} =\lim_n \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1} +\ldots +\frac{1}{n+1}=0+0+\ldots +0$[/tex]
da cui [tex]$1=0$[/tex]... Dove sta l'errore secondo te?
"gugo82":
Esempio simile, ma più semplice.
Sai che [tex]$\lim_n \frac{n}{n+1} =1$[/tex]; però puoi scrivere anche:
[tex]$\lim_n \frac{\overbrace{1+1+\ldots +1}^{\text{$n$ volte}}}{n+1} =\lim_n \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1} +\ldots +\frac{1}{n+1}=0+0+\ldots +0$[/tex]
da cui [tex]$1=0$[/tex]... Dove sta l'errore secondo te?
Provo: somma di infiniti addendi?
P.S. : Grazie Gugo.
Eh sì...
Infatti quello che fai in entrambi i casi è trascurare sistematicamente la parentesi graffa con il testo [tex]$\text{$n$ volte}$[/tex].
Di ciò te ne rendi subito conto se scrivi il limite come:
[tex]$\lim_n \frac{n}{n+1} =\lim_n \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+1}$[/tex],
poiché in questo modo risulta evidente che hai un estremo della somma che cresce indefinitamente (infatti l'estremo superiore è [tex]$n\to +\infty$[/tex]) e che, perciò, non puoi passare al limite "impunemente" sotto il segno di sommatoria (ricorda, il teorema del limite della somma vale per le somme con un numero finito di addendi*).
__________
* Poi questa restrizione si può superare, probabilmente, ma serve introdurre qualche concetto in più.
Infatti quello che fai in entrambi i casi è trascurare sistematicamente la parentesi graffa con il testo [tex]$\text{$n$ volte}$[/tex].
Di ciò te ne rendi subito conto se scrivi il limite come:
[tex]$\lim_n \frac{n}{n+1} =\lim_n \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+1}$[/tex],
poiché in questo modo risulta evidente che hai un estremo della somma che cresce indefinitamente (infatti l'estremo superiore è [tex]$n\to +\infty$[/tex]) e che, perciò, non puoi passare al limite "impunemente" sotto il segno di sommatoria (ricorda, il teorema del limite della somma vale per le somme con un numero finito di addendi*).
__________
* Poi questa restrizione si può superare, probabilmente, ma serve introdurre qualche concetto in più.
Quel limite è stato risolto maggiorando e minorando la funzione, constatando che $log( n! ) >= int_1^n log(x) dx = n log(n) - n$
C'è qualche strada più intuitiva per "lavorarsi" quel fattoriale?
Cosa intendi?
C'è qualche strada più intuitiva per "lavorarsi" quel fattoriale?
"gugo82":
* Poi questa restrizione si può superare, probabilmente, ma serve introdurre qualche concetto in più.
Cosa intendi?
"Seneca":
Quel limite è stato risolto maggiorando e minorando la funzione, constatando che $log( n! ) >= int_1^n log(x) dx = n log(n) - n$
C'è qualche strada più intuitiva per "lavorarsi" quel fattoriale?
Se per strada più intuitiva intendi un'applicazione "acritica" del teorema sulla somma dei limiti, no.
E comunque quella minorazione è abbastanza semplice.
"Seneca":
[quote="gugo82"]
* Poi questa restrizione si può superare, probabilmente, ma serve introdurre qualche concetto in più.
Cosa intendi?[/quote]
Intendo che probabilmente esistono teoremi per passare al limite nel modo seguente:
[tex]$\lim_{n} \sum_{k=1}^n a_{k,n} =\sum_{k=1}^{+\infty} \lim_n a_{k,n}$[/tex]
che poi è quello che ognuno farebbe per risolvere quel limite in maniera naive.
Questi sono i tipici teoremi sulle serie che seguono facilmente dalla teoria dell'integrazione di Lebesgue.
"Seneca":
C'è qualche strada più intuitiva per "lavorarsi" quel fattoriale?
Hai pensato all'approssimazione di Stirling?
Teorema di Cesàro:
$lim_(n) x_n = L " " Rightarrow " " lim_(n) (x_1 + ... + x_n)/n = L$
Allora avrei:
$lim_(n) (log(n) + log(n - 1) + log( n - 2 ) + ... + log( 3 ) + log( 2 ) + 0 )/(n) * 1/(log(n))$
$lim_(n) (log(n))*1/(log(n)) = 1$ allora anche $lim_(n) (log(n!))/(n) * 1/(log(n))$.
Ma è corretta questa cosa? C'è di mezzo un prodotto...
$lim_(n) x_n = L " " Rightarrow " " lim_(n) (x_1 + ... + x_n)/n = L$
Allora avrei:
$lim_(n) (log(n) + log(n - 1) + log( n - 2 ) + ... + log( 3 ) + log( 2 ) + 0 )/(n) * 1/(log(n))$
$lim_(n) (log(n))*1/(log(n)) = 1$ allora anche $lim_(n) (log(n!))/(n) * 1/(log(n))$.
Ma è corretta questa cosa? C'è di mezzo un prodotto...
Non funziona perchè hai un [tex]$n$[/tex] anche al denominatore nella successione che vorresti chiamare [tex]$x_k$[/tex]...
In altre parole, vorresti interpretare:
[tex]$\frac{1}{n}\ \sum_{k=1}^n \frac{\ln k}{\ln n}$[/tex]
come media di una successione [tex]$x_k$[/tex], ossia come:
[tex]$\frac{1}{n}\ \sum_{k=1}^n x_k$[/tex].
Ma allora dovresti scegliere [tex]$x_k=\frac{\ln k}{\ln n}$[/tex]... Ed a questo punto c'è l'inghippo che ti dicevo.
Infatti hai il denominatore che ti dà fastidio e non puoi passare al limite.
In altre parole, vorresti interpretare:
[tex]$\frac{1}{n}\ \sum_{k=1}^n \frac{\ln k}{\ln n}$[/tex]
come media di una successione [tex]$x_k$[/tex], ossia come:
[tex]$\frac{1}{n}\ \sum_{k=1}^n x_k$[/tex].
Ma allora dovresti scegliere [tex]$x_k=\frac{\ln k}{\ln n}$[/tex]... Ed a questo punto c'è l'inghippo che ti dicevo.
Infatti hai il denominatore che ti dà fastidio e non puoi passare al limite.
Tutto chiarissimo. Grazie infinite.
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