Limite di (sin x -x)/x^3
Il limite per x tendente a 0 di $(sin x - x)/x^3$ è immediato se calcolato utilizzando gli sviluppi di Taylor o il teorema di De L'Hopital.
Qualcuno ha dei suggerimenti su come calcolarlo senza utilizzare questi strumenti e, più in generale, senza utilizzare le derivate?
Qualcuno ha dei suggerimenti su come calcolarlo senza utilizzare questi strumenti e, più in generale, senza utilizzare le derivate?
Risposte
Spezza la frazione in somma di due frazioni.
"Raptorista":
Spezza la frazione in somma di due frazioni.
E così ottieni una bella forma indeterminata \(\infty-\infty\). Ci vuole la formula di Taylor per calcolare quel limite, non vedo proprio come fare altrimenti, né perché.
Ah già, che idiota che sono xD
Scusa, chissà cosa ho letto! Nella mia mente veniva 0-0 ahhahahahaha
Scusa, chissà cosa ho letto! Nella mia mente veniva 0-0 ahhahahahaha
Mi pare di aver già visto il procedimento proprio in questo forum, ma non trovo la relativa discussione.
$ L=lim_{x->0} (sinx-x)/x^3= lim_{x->0} (sinx-sinxcosx)/x^3+lim_{x->0} (sinxcosx-x)/x^3=$
$=1/2+lim_{x->0} (1/2sin(2x)-1/2(2x))/(1/8(2x)^3)=1/2+4lim_{2x->0} (sin(2x)-(2x))/((2x)^3)=1/2+4L$
Ciao
$ L=lim_{x->0} (sinx-x)/x^3= lim_{x->0} (sinx-sinxcosx)/x^3+lim_{x->0} (sinxcosx-x)/x^3=$
$=1/2+lim_{x->0} (1/2sin(2x)-1/2(2x))/(1/8(2x)^3)=1/2+4lim_{2x->0} (sin(2x)-(2x))/((2x)^3)=1/2+4L$
Ciao
@orsoulx: molto carina, anche se a me lasciano sempre un po' sospettoso procedure in cui si dà per acquisito, in itinere, che l'oggetto che si vuol calcolare sia finito. Voglio dire: il procedimento funziona se parti dal presupposto, non ovvio, che $L$ sia finito. Tempo fa, in questa discussione, un utente mise questo link proprio sul limite in questione.
"Palliit":condividendo i tuoi sospetti non ho scritto il risultato
a me lasciano sempre un po' sospettoso procedure in cui si dà per acquisito...
. Ciao e grazie per i link.
@orsoulx: È ingegnoso. Però, con questo stesso procedimento, si può dimostrare anche che, detto
\[
L=\lim_{x\to \infty} \cos x, \]
si ha che L=1. Infatti,
\[
L^2=\lim_{x\to \infty} \cos^2 x=\lim_{x\to \infty} \left(\frac12 +\frac{\cos 2x}{2}\right)=\frac12+\frac{L}{2}, \]
quindi
\[
2L^2-L-1=0, \]
le cui soluzioni sono \(L=1\) e \(L=-\frac12\). Toh, se vogliamo, può fare pure \(-\frac12\). Facciamo che vale \(1\) nei giorni pari e \(-\frac12\) in quelli dispari.
\[
L=\lim_{x\to \infty} \cos x, \]
si ha che L=1. Infatti,
\[
L^2=\lim_{x\to \infty} \cos^2 x=\lim_{x\to \infty} \left(\frac12 +\frac{\cos 2x}{2}\right)=\frac12+\frac{L}{2}, \]
quindi
\[
2L^2-L-1=0, \]
le cui soluzioni sono \(L=1\) e \(L=-\frac12\). Toh, se vogliamo, può fare pure \(-\frac12\). Facciamo che vale \(1\) nei giorni pari e \(-\frac12\) in quelli dispari.
Metto ot che è meglio
[ot]
Figo! In combinazione con il teorema della permanenza del segno e teorema di unicità, questo ragionamento consente di dimostrare che il coseno non ammette limite per $x\to +\infty$ senza tirare in ballo le successioni! (Solo non capisco perché supponi $L=1$ nel primo limite). RUBO![/ot]
[ot]
"dissonance":
@orsoulx: È ingegnoso. Però, con questo stesso procedimento, si può dimostrare anche che
\[
L=\lim_{x\to \infty} \cos x = 1.\]
Infatti,
\[
L^2=\lim_{x\to \infty} \cos^2 x=\lim_{x\to \infty} \left(\frac12 +\frac{\cos 2x}{2}\right)=\frac12+\frac{L}{2}, \]
quindi
\[
2L^2-L-1=0, \]
le cui soluzioni sono \(L=1\) e \(L=-\frac12\). Toh, se vogliamo, può fare pure \(-\frac12\). Facciamo che vale \(1\) nei giorni pari e \(-\frac12\) in quelli dispari.
Figo! In combinazione con il teorema della permanenza del segno e teorema di unicità, questo ragionamento consente di dimostrare che il coseno non ammette limite per $x\to +\infty$ senza tirare in ballo le successioni! (Solo non capisco perché supponi $L=1$ nel primo limite). RUBO![/ot]
Non suppongo L=1. Voglio dire: sia L il limite così e cosà, allora L=1. Ho messo ipotesi e tesi nella stessa equazione, in effetti non è il massimo.
Comunque, tutto ciò che il mio post dimostra è che, SE il limite esistesse, ALLORA dovrebbe essere uguale a 1 oppure a -1/2. Non dimostra che il limite non esiste.
Comunque, tutto ciò che il mio post dimostra è che, SE il limite esistesse, ALLORA dovrebbe essere uguale a 1 oppure a -1/2. Non dimostra che il limite non esiste.
Sì, capisco. Però se lo aggiusti un po' puoi dimostrare che quel limite non esiste. Il tuo ragionamento mi serve esclusivamente per dire che se per assurdo il limite $L=\lim_{x\to+\infty}\cos(x)$ esistesse finito, necessariamente $L=1$ oppure $L=-\frac{1}{2}$.
Se il limite fosse $L=1$, per il teorema della permanenza del segno esisterebbe un intorno di $+\infty$ in cui il coseno è positivo (assurdo). Se il limite fosse $L=-\frac{1}{2}$, il tpds garantirebbe l'esistenza di un intorno di $+\infty$ in cui il coseno è negativo (assurdo).
Poiché $y=\cos(x)$ è una funzione limitata, i suoi limiti agli estremi non possono essere infiniti... Da qui la conclusione è breve, no?
Se il limite fosse $L=1$, per il teorema della permanenza del segno esisterebbe un intorno di $+\infty$ in cui il coseno è positivo (assurdo). Se il limite fosse $L=-\frac{1}{2}$, il tpds garantirebbe l'esistenza di un intorno di $+\infty$ in cui il coseno è negativo (assurdo).
Poiché $y=\cos(x)$ è una funzione limitata, i suoi limiti agli estremi non possono essere infiniti... Da qui la conclusione è breve, no?
Certamente, se fai così va benissimo.
"Palliit":
@orsoulx: molto carina, anche se a me lasciano sempre un po' sospettoso procedure in cui si dà per acquisito, in itinere, che l'oggetto che si vuol calcolare sia finito. Voglio dire: il procedimento funziona se parti dal presupposto, non ovvio, che $L$ sia finito. Tempo fa, in questa discussione, un utente mise questo link proprio sul limite in questione.
Grazie per il link, che fornisce una spiegazione completa. E grazie a tutti per le risposte.
Ciao lupin1942,
Per l'inverso del limite proposto se ne è discusso diffusamente anche qui, sempre ipotizzando che il risultato del limite esista finito.
Per l'inverso del limite proposto se ne è discusso diffusamente anche qui, sempre ipotizzando che il risultato del limite esista finito.
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