Limite di serie
Ciao a tutti,
devo risolvere questo esercizio e non riesco proprio a trovare la soluzione. L'esercizio è:
Trovare il limite di:
$\lim_{n \to \infty}(1)/(2n^4)\sum_{k=1}^n (8k-3)^3$
Quello che io ho fatto è:
$ (8k-3)^3 \sim k^3 $
e quindi:
$\lim_{n \to \infty}(n^3)/(2n^4) \to 0$
Immagino che non sia così e sicuramente c'è un procedimento per risolverlo correttamente ma non lo trovo nel programma del corso del professore.
Qualcuno mi potrebbe aiutare?
grazie
devo risolvere questo esercizio e non riesco proprio a trovare la soluzione. L'esercizio è:
Trovare il limite di:
$\lim_{n \to \infty}(1)/(2n^4)\sum_{k=1}^n (8k-3)^3$
Quello che io ho fatto è:
$ (8k-3)^3 \sim k^3 $
e quindi:
$\lim_{n \to \infty}(n^3)/(2n^4) \to 0$
Immagino che non sia così e sicuramente c'è un procedimento per risolverlo correttamente ma non lo trovo nel programma del corso del professore.
Qualcuno mi potrebbe aiutare?
grazie
Risposte
Puoi tenere conto del fatto che
\[ \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2 . \]
Nel tuo limite puoi trascurare a numeratore gli infiniti di ordine inferiore che ottieni dallo sviluppo del cubo, ottenendo
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{8^3 \sum_{k=1}^n k^3}{2n^4} = \ldots \]
\[ \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2 . \]
Nel tuo limite puoi trascurare a numeratore gli infiniti di ordine inferiore che ottieni dallo sviluppo del cubo, ottenendo
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{8^3 \sum_{k=1}^n k^3}{2n^4} = \ldots \]
no scusa non ti seguo.
mi potresti spiegare bene i passaggi per favore?
Ad esempio non capisco perchè $\sum_{k=1}^n k^3$ diventa $(\sum_{k=1}^n k)^2$
mi potresti spiegare bene i passaggi per favore?
Ad esempio non capisco perchè $\sum_{k=1}^n k^3$ diventa $(\sum_{k=1}^n k)^2$
"roberto.p89":
Ad esempio non capisco perchè $\sum_{k=1}^n k^3$ diventa $(\sum_{k=1}^n k)^2$
Questo si può dimostrare per induzione (provaci), così come l'uguaglianza \( \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \).
ah si l'ho verificato.
Ma non c'è una regola che per $sum_{k=1}^n k^p$ al variare di $p$ mi dice a cosa è uguale?
Ad esempio in quest'altro come faccio?
$\lim_{n \to \infty}(1)/(8n^5)\sum_{k=1}^n (2k-1)^4$
grazie mille per la tua disponibilità
Ma non c'è una regola che per $sum_{k=1}^n k^p$ al variare di $p$ mi dice a cosa è uguale?
Ad esempio in quest'altro come faccio?
$\lim_{n \to \infty}(1)/(8n^5)\sum_{k=1}^n (2k-1)^4$
grazie mille per la tua disponibilità
Forse allora il tuo professore ha dimostrato qualcosa del tipo
\[ \sum_{k=1}^n k^m \sim \frac{n^{m+1}}{m+1},\quad n\to +\infty\]
con \( m\in\mathbb{N}\) (che si può ottenere, ad esempio, stimando la sommatoria con integrali).
\[ \sum_{k=1}^n k^m \sim \frac{n^{m+1}}{m+1},\quad n\to +\infty\]
con \( m\in\mathbb{N}\) (che si può ottenere, ad esempio, stimando la sommatoria con integrali).
no purtroppo non mi sembra che l'abbia spiegato.
Quindi per $\lim_{n \to \infty}(1)/(8n^5)\sum_{k=1}^n (2k-1)^4$ avrei che $ n=(2k-1) $
quindi $ (2k-1)^5/5 \sim (32k^5)/5 $.
ora ritornando al limite: $\lim_{n \to \infty}(32n^5)/(40n^5)=4/5$
Però derive mi da come risultato $2/5$
Ho fatto qualche errore io?
Quindi per $\lim_{n \to \infty}(1)/(8n^5)\sum_{k=1}^n (2k-1)^4$ avrei che $ n=(2k-1) $
quindi $ (2k-1)^5/5 \sim (32k^5)/5 $.
ora ritornando al limite: $\lim_{n \to \infty}(32n^5)/(40n^5)=4/5$
Però derive mi da come risultato $2/5$
Ho fatto qualche errore io?
Hai che \( \sum_{k=1}^n (2k -1)^4\sim 2^4 \sum_{k=1}^n k^4 \sim 2^4 \frac{n^5}{5}\); di conseguenza il limite viene
\[ \lim_{n\to +\infty} \frac{16 n^5}{5 \cdot 8 n^5} = \frac{2}{5}, \]
dunque derive ha ragione.
\[ \lim_{n\to +\infty} \frac{16 n^5}{5 \cdot 8 n^5} = \frac{2}{5}, \]
dunque derive ha ragione.
sul fatto che derive avesse ragione non avevo dubbi. Non sono ancora mai riuscito a contraddirlo
Comunque grazie ora mi è chiarissimo il metodo con cui svolgerli.
Comunque grazie ora mi è chiarissimo il metodo con cui svolgerli.
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