Limite di questa funzione
[tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2-1}+2x}{x}[/tex]
Non so perchè ma sbaglio, il mio risultato è -3, contro quello corretto che è....3:D
Razionalizzo e arrivo a questo punto:
[tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-1-4x^2}{x\sqrt{x^2(1-\frac{1}{x^2})}-2x}[/tex]
Ora porto fuori dalla radice x (forse sbaglio qui).
[tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-1-4x^2}{x^2(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-\frac{2x}{x^2})}[/tex]
Così mi viene -3...dove sbaglio?
Non so perchè ma sbaglio, il mio risultato è -3, contro quello corretto che è....3:D
Razionalizzo e arrivo a questo punto:
[tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-1-4x^2}{x\sqrt{x^2(1-\frac{1}{x^2})}-2x}[/tex]
Ora porto fuori dalla radice x (forse sbaglio qui).
[tex]\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-1-4x^2}{x^2(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-\frac{2x}{x^2})}[/tex]
Così mi viene -3...dove sbaglio?
Risposte
Nella moltiplicazione a denominatore. Controlla meglio il prodotto $x(\sqrt {x^2-1}-2x)$
scusate,.. ma perchè razionalizzare? la radice è al nominatore...
mi viene spontaneo fare quel passaggio prima...
cioè, mettere in evidenza (sotto la radice) $x^2$ e portarla fuori dalla radice...
mi viene spontaneo fare quel passaggio prima...
cioè, mettere in evidenza (sotto la radice) $x^2$ e portarla fuori dalla radice...
Ah giusto, ho fatto la moltiplicazione e mettendo in evidenza trovo all'interno se non sbaglio
[tex]x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-2[/tex]
Quindi ottengo 3 considerando anceh il numeratore se non ho sbagliato di nuovo...
Ne approfitto per chiedere un'altra cosa, dovrei studiare la derivata di questa funzione:
[tex]\frac{x+2\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}>0[/tex]
Ho il primo sistema per il numeratore che è:
[tex]\left\{\begin{matrix}
-x<0\\
2x^2-2\geq 0\end{matrix}\right.[/tex]
unito a
[tex]\left\{\begin{matrix}
-x\geq0\\
2x^2-2\geq x^2\end{matrix}\right.[/tex]
Sbaglio ad impostare il sistema, cosa sbaglio?
[tex]x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-2[/tex]
Quindi ottengo 3 considerando anceh il numeratore se non ho sbagliato di nuovo...
Ne approfitto per chiedere un'altra cosa, dovrei studiare la derivata di questa funzione:
[tex]\frac{x+2\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}>0[/tex]
Ho il primo sistema per il numeratore che è:
[tex]\left\{\begin{matrix}
-x<0\\
2x^2-2\geq 0\end{matrix}\right.[/tex]
unito a
[tex]\left\{\begin{matrix}
-x\geq0\\
2x^2-2\geq x^2\end{matrix}\right.[/tex]
Sbaglio ad impostare il sistema, cosa sbaglio?
Non capisco cosa hai messo a sistema e secondo quale criterio 
Comunque sia hai da risolvere la "disequazione fratta" e lo si fa mettendo a sistema numeratore e denominatore.
Comunque sia hai da risolvere la "disequazione fratta" e lo si fa mettendo a sistema numeratore e denominatore.
"guitarplaying":
Ah giusto, ho fatto la moltiplicazione e mettendo in evidenza trovo all'interno se non sbaglio
[tex]x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}-2[/tex]
Quindi ottengo 3 considerando anceh il numeratore se non ho sbagliato di nuovo...
??io dicevo questo...
$ lim_(x -> oo) (sqrt(x^2-1) + 2x)/x $
$ lim_(x -> oo) (sqrt(x^2(1-1/x^2)) + 2x)/x $
$ lim_(x -> oo) (xsqrt(1-1/x^2) + 2x)/x $
etc...
e anche se da come l'hai scritto non è chiaro, spero che ci siamo capiti ugualmente...
e poi non ho capito qual'è la derivata e quale la funzione...
quella disequazione è già la derivata posta maggiore di zero?
Si hai ragione non l'ho specificato, devo fare il sistema fra le due, risolverle separatamente e poi fare l'intersezione.
Stavo risolvendo la prima, quella al numeratore, è irrazionale quindi non si deve risolvere come le disequazioni irrazionali, facendo due sistemi?
Come la faresti?
Stavo risolvendo la prima, quella al numeratore, è irrazionale quindi non si deve risolvere come le disequazioni irrazionali, facendo due sistemi?
Come la faresti?
Io il sistema per risolvere il numeratore l'ho impostato come ho scritto prima, ma temo sia sbagliatoe non capisco come si scrive.
Se la disequazione [tex]\frac{x+2\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}>0[/tex] è già la derivata della tua funzione e vuoi conoscere il segno (in questo caso per quali valori della $x$ tale frazione è positiva) devi mettere a sistema numeratore e denominatore e come hai detto tu trovare le intersezioni.
Scusate mi sono espresso male, si, quella che dici tu Orlok è già la derivata della funzione, ma sbaglio a risolvere la prima disequazione, cioè del numeratore, che ho scritto precedentemente prima che tu rispondessi che non avevi capito cosa io avessi messo a sistema e con quale criterio.
Quei duei sistemi li avevo scritti per risolvere il numeratore, ma le soluzioni non coincidono, quindi sbaglio e non riesco a capire cosa scrivo male...........quindi non riesco ad andare avanti perchè non capisco dove sbaglio per risolvere il numeratore che devo risolvere come sistema dato che c'è una radice.
Non so se è chiaro?
Quei duei sistemi li avevo scritti per risolvere il numeratore, ma le soluzioni non coincidono, quindi sbaglio e non riesco a capire cosa scrivo male...........quindi non riesco ad andare avanti perchè non capisco dove sbaglio per risolvere il numeratore che devo risolvere come sistema dato che c'è una radice.
Non so se è chiaro?
Si, ho capito. Scusa se ti rispondo ora....
Forse questo esempio ti può essere utile:
$\sqrt {x}-x>0\ \Leftrightarrow\ \sqrt {x}>x\ \Rightarrow\ (\sqrt x)^2>x^2\ \Leftrightarrow\ x>x^2$
Adesso è più chiaro come risolvere il problema?
Forse questo esempio ti può essere utile:
$\sqrt {x}-x>0\ \Leftrightarrow\ \sqrt {x}>x\ \Rightarrow\ (\sqrt x)^2>x^2\ \Leftrightarrow\ x>x^2$
Adesso è più chiaro come risolvere il problema?
Scusa non vorrei insistere, ma quello che hai fatto tu non dovrebbe essere consentito solo se l'indice di radice è dispari?
Altrimenti bisogna seguire questo schema...come è detto qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Disequazione_irrazionale
O sbaglio?
Altrimenti bisogna seguire questo schema...come è detto qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Disequazione_irrazionale
O sbaglio?
Ho visto. Sinceramente non saprei, sembra un pò complicato.
Però alla fine non penso di aver alterato la disuguaglianza. Vediamo cosa dicono gli altri.
Però alla fine non penso di aver alterato la disuguaglianza. Vediamo cosa dicono gli altri.
Ok. Ho controllato. Effettivamente è come indica la Wiki.
Nel sistema che hai impostato tu credo sia allora sbagliata la seconda disequazione del primo sistema. Secondo il Marcellini-Sbordone lì ci va solo il radicando posto non negativo.
Nel sistema che hai impostato tu credo sia allora sbagliata la seconda disequazione del primo sistema. Secondo il Marcellini-Sbordone lì ci va solo il radicando posto non negativo.
Cioè....siccome non ho le idee chiare non è che mi scriveresti questo sistema?
"guitarplaying":
[tex]\frac{x+2\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}}>0[/tex]
Mmm... secondo me fai prima a ragionare sulla tua situazione, vedrai che il sistema ha un suo perchè.. Qui tu hai una radice al denominatore, quindi esso è sempre positivo.
Al numeratore hai la quantità $ x + 2 \sqrt { x^2 - 1 } $. Essa è positiva quando:
$\sqrt { x^2 - 1 } > - x/2 $. Ora fai dovute considerazioni:
1) Il denominatore è sempre positivo, ergo se il secondo membro è negativo ( e se il primo membro è definito ), la disuguaglianza è sicuramente vera.
$ { ( x^2 - 1 >= 0 ),( -x/2 < 0 ):} $
e questo è il tuo prima sistema.
2) Il secondo membro è positivo. Qui non puoi fare la furbata, e devi vedere se la prima quantità è maggiore della seconda, quindi devi quadrare.
$ { ( -x/2> 0 ),( \sqrt { x^2 - 1 } > -x/2 ):} to { ( -x/2> 0 ),( x^2 - 1 > x^2/4 ):} $
e questo è il tuo secondo sistema.
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