Limite di polinomio elevato a radice
Salve a tutti,
ho questo limite da risolvere $ lim_(n -> oo ) (1+sqrt(n+1)-sqrt(n))^sqrt(n) $
il primo passo che mi viene da fare è di trasformarlo in una forma "e-alla-qualcosa" ovvero $ e^(sqrt(n)ln(1+sqrt(n+1)-sqrt(n))) $
A questo punto mi verrebbe da moltiplicare l'esponente per $ (sqrt(n)ln(1+sqrt(n+1)-sqrt(n)))/(sqrt(n)ln(1+sqrt(n+1)-sqrt(n))) $ in modo tale da ottenere (se ho fatto i conti bene) $ e^((n(ln(1+sqrt(n+1)-sqrt(n))^2))/(sqrt(n)ln(1+sqrt(n+1)-sqrt(n))) $ che diventa $ e^((2n)/(sqrt(n))) $
la mia domanda è: se è tutto giusto questo limite tende ad infinito ma la soluzione che ho di questo esercizio è $ sqrt(e) $..cosa ho sbagliato??
ho questo limite da risolvere $ lim_(n -> oo ) (1+sqrt(n+1)-sqrt(n))^sqrt(n) $
il primo passo che mi viene da fare è di trasformarlo in una forma "e-alla-qualcosa" ovvero $ e^(sqrt(n)ln(1+sqrt(n+1)-sqrt(n))) $
A questo punto mi verrebbe da moltiplicare l'esponente per $ (sqrt(n)ln(1+sqrt(n+1)-sqrt(n)))/(sqrt(n)ln(1+sqrt(n+1)-sqrt(n))) $ in modo tale da ottenere (se ho fatto i conti bene) $ e^((n(ln(1+sqrt(n+1)-sqrt(n))^2))/(sqrt(n)ln(1+sqrt(n+1)-sqrt(n))) $ che diventa $ e^((2n)/(sqrt(n))) $
la mia domanda è: se è tutto giusto questo limite tende ad infinito ma la soluzione che ho di questo esercizio è $ sqrt(e) $..cosa ho sbagliato??
Risposte
Il problema sta nell'argomento del logaritmo che, per [tex]$n\to+\infty$[/tex] risulta [tex]$1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\sim 1+\sqrt{n}-\sqrt{n}=1$[/tex]. La moltiplicazione che esegui, per quanto corretta, non ti porta informazioni utili: infatti avresti dovuto sostituire poi il logaritmo con "zero" ottenendo una forma indeterminata di difficile soluzione. Usa invece il fatto che [tex]$\log(1+t)\sim t,\ t\to 0$[/tex] osservando che puoi scegliere [tex]$t=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$[/tex] e quindi razionalizza questa quantità.
Ma più semplicemente:
[tex]$\left( 1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^{\sqrt{n}} =\left( 1+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}$[/tex]
[tex]$=\left[ \left( 1+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right]^{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\to \sqrt{e}$[/tex],
giacché:
[tex]$\lim_n \left( 1+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =e$[/tex] e [tex]$\lim_n \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\tfrac{1}{2}$[/tex].
[tex]$\left( 1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^{\sqrt{n}} =\left( 1+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n}}$[/tex]
[tex]$=\left[ \left( 1+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right]^{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\to \sqrt{e}$[/tex],
giacché:
[tex]$\lim_n \left( 1+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right)^{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =e$[/tex] e [tex]$\lim_n \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\tfrac{1}{2}$[/tex].
Gentilissimi come sempre! Grazie mille per entrambe le risposte corrette.
Salve di nuovo,
mi è capitato un caso simile ma più complicato:
$ lim_(n -> oo ) (1+(n+1)^(1/3)-n^3)^(n^(2/3)) $
la soluzione per il precedente caso si fondava su una razionalizzazione facile, ma con questa espressione cosa posso fare?? Penso che il principio per risolvere l'esercizio sia lo stesso di prima ma non ho idea di come fare il passaggio algebrico per ricondurmi al limite notevole!
mi è capitato un caso simile ma più complicato:
$ lim_(n -> oo ) (1+(n+1)^(1/3)-n^3)^(n^(2/3)) $
la soluzione per il precedente caso si fondava su una razionalizzazione facile, ma con questa espressione cosa posso fare?? Penso che il principio per risolvere l'esercizio sia lo stesso di prima ma non ho idea di come fare il passaggio algebrico per ricondurmi al limite notevole!
Forse hai trascritto male la successione: da un certo $n$ in poi la funzione non ha significato, infatti $1 + (n+1)^(1/3) - n^3 -> -oo$.
No la successione è scritta correttamente.
Suppongo che l'argomento dentro la parentesi sia [tex]$1+(n+1)^{1/3}-n^{1/3}$[/tex]. In questo caso devi razionalizzare così:
[tex]$1+(n+1)^{1/3}-n^{1/3}=1+[(n+1)^{1/3}-n^{1/3}]\cdot\frac{(n+1)^{2/3}+n^{1/3}(n+1)^{1/3}+n^{2/3}}{(n+1)^{2/3}+n^{1/3}(n+1)^{1/3}+n^{2/3}}=$[/tex]
[tex]$=1+\frac{n+1-n}{(n+1)^{2/3}+(n^2+n)^{1/3}+n^{2/3}}=1+\frac{1}{(n+1)^{2/3}+(n^2+n)^{1/3}+n^{2/3}}$[/tex]
usando il prodotto notevole: [tex]$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$[/tex] e scegliendo [tex]$a=(n+1)^{1/3},\ b=n^{1/3}$[/tex]. Per il resto puoi procedere come prima, osservando che
[tex]$(n+1)^{2/3}+(n^2+n)^{1/3}+n^{2/3}\sim 3n^{2/3}$[/tex]
[tex]$1+(n+1)^{1/3}-n^{1/3}=1+[(n+1)^{1/3}-n^{1/3}]\cdot\frac{(n+1)^{2/3}+n^{1/3}(n+1)^{1/3}+n^{2/3}}{(n+1)^{2/3}+n^{1/3}(n+1)^{1/3}+n^{2/3}}=$[/tex]
[tex]$=1+\frac{n+1-n}{(n+1)^{2/3}+(n^2+n)^{1/3}+n^{2/3}}=1+\frac{1}{(n+1)^{2/3}+(n^2+n)^{1/3}+n^{2/3}}$[/tex]
usando il prodotto notevole: [tex]$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$[/tex] e scegliendo [tex]$a=(n+1)^{1/3},\ b=n^{1/3}$[/tex]. Per il resto puoi procedere come prima, osservando che
[tex]$(n+1)^{2/3}+(n^2+n)^{1/3}+n^{2/3}\sim 3n^{2/3}$[/tex]
Vi ringrazio tutti! Probabilmente era scritto male il testo dell'esercizio.
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