Limite di integrale mollificante

[Ulyx3s]

Sia U funzione $C^0$.
Preso $p(x)$ mollificatore, quindi a supporto compatto con $int_RR p=1$, è chiaro che

$(S_k U)(x)=1/k * int_I U(x-y)p(y/k)dy$
è una funzione $C^1$, perchè il mollificatore liscia la funzione.
Poi però dice che al tendere di $k$ a 0 la funzione $S_k U$ tende a U, ma a me pare che tenda alla funzione nulla, per via di quel $k$ a denominatore.
E' corretto secondo voi o ho sbagliato a trascrivere?
grazie.

[Ulyx3s]

Nessuno ha idee?

[gugo82]

Cos'è \(\frac{1}{\partial}\)?

[Ulyx3s]

scusa per $\partial$ volevo intendere un delta $\delta$, un reale infinitesimo che tende a 0...

[gugo82]

E ma non capisco cosa c'entri il \(\delta\) con la convoluzione... Insomma, se uno vuole regolarizzare usando un mollificatore, non ci può mettere un \(\delta\) qualsiasi lì davanti.

[Ulyx3s]

Allora, chiedo scusa ma sto facendo ancora degli errori con le formule, l avevo ricorretta ma non tutta, il 1/$\delta$ in realtà è $1/k$.
Ora la formula l' ho corretta definitivamente.
Scusa ancora.

[dissonance]

\(1/k\) tende a zero se \(k\) tende a zero? E da quando?

[gugo82]

Si ha \(\lim_{k\to 0^+} S_ku = u\) puntualmente in \(\mathbb{R}\) ed, addirittura, uniformemente sui compatti.

Infatti, facendo il cambiamento di variabile \(t=y/k\) nell'integrale che definisce \(S_ku\) si trova:
\[
S_ku(x) \stackrel{t=y/k}{=} \int_{-\infty}^\infty u(x-kt)\ \rho (t)\ \text{d} t
\]
e d'altra parte si ha pure:
\[
u(x) = \int_{-\infty}^\infty u(x)\ \rho (t)\ \text{d} t
\]
quindi:
\[
|S_ku(x) - u(x)| \leq \int_{-\infty}^\infty |u(x-kt)-u(x)|\ \rho (t)\ \text{d} t\; .
\]
Senza ledere la generalità, possiamo assumere che \(\operatorname{supp} \rho =[-1,1]\) (in caso contrario, basta ridefinire il mollificatore usando un cambiamento lineare di variabile), sicché la precedente si riscrive:
\[
|S_ku(x) - u(x)| \leq \int_{-1}^{1} |u(x-kt)-u(x)|\ \rho (t)\ \text{d} t\; .
\]
Supponiamo che \(u\) sia continua in \(x\), cioè che:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta=\delta (\varepsilon ,x)>0:\ |y-x|<\delta \ \Rightarrow \ |u(y)-u(x)|<\varepsilon\; ;
\]
dato che \(|(x-kt)-x|=k|t|\leq k\), prendendo \(k<\delta (\varepsilon ,x)\) si ha \(|(x-kt)-x|<\delta\) e perciò \(|u(x-kt)-u(x)|<\varepsilon\): pertanto:
\[
|S_ku(x) - u(x)| \leq \int_{-1}^{1} |u(x-kt)-u(x)|\ \rho (t)\ \text{d} t < \int_{-1}^1 \varepsilon\ \rho (t)\ \text{d} t =\varepsilon
\]
e perciò \(\lim_{k\to 0^+} S_ku(x)= u(x)\) per ogni fissato \(x\) in cui \(u\) risulta continua. In partoicolare, se \(u\in C(\mathbb{R})\) si ha quindi \(\lim_{k\to 0^+} S_ku= u\) puntualmente in \(\mathbb{R}\).

Supponiamo adesso che \(x\in C\) con \(C\) compatto non vuoto: in tal caso \(u\) è uniformemente continua in \(C\) e perciò, per ogni \(x\in C\), si ha \(\delta =\delta (\varepsilon/2)\) nella definizione di continuità utilizzata precedentemente; ne viene che:
\[
\forall k<\delta,\ \sup_{x\in C} |S_ku(x) - u(x)| \leq \frac{\varepsilon}{2} <\varepsilon
\]
e perciò \(\lim_{k\to 0^+} S_ku= u\) uniformemente in \(C\).