Limite di integrale
Ciao, è possibile che questo limite faccia $0$?
$Lim_(x->0)$[tex]\int_{0}^{x}\frac{\sin3t^{2}\sqrt{1-t^{2}}-t\arctan 3t}{\log(1+2t^{2})}dt[/tex]
$Lim_(x->0)$[tex]\int_{0}^{x}\frac{\sin3t^{2}\sqrt{1-t^{2}}-t\arctan 3t}{\log(1+2t^{2})}dt[/tex]
Risposte
provato con mclaurin? (ti avviso già che io non mi ci metto però)
Non ho capito come devo procedere.
Cioè, se gli estremi di integrazione sono entambi $0$, non dovrebbe allora fare $0$ il limite?
Cioè, se gli estremi di integrazione sono entambi $0$, non dovrebbe allora fare $0$ il limite?
Questa è una classica domanda trabocchetto. Che ci provasse, qualcuno, a calcolare quell'integrale!!! 
Per Mirino: Ricordati i teoremi di continuità della funzione integrale.
P.S.: Ops, non mi ero accorto che la funzione integranda ha una singolarità nell'origine.
Per Mirino: Ricordati i teoremi di continuità della funzione integrale. P.S.: Ops, non mi ero accorto che la funzione integranda ha una singolarità nell'origine.
Ho riguardato anche questi appunti https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 25340.html però non riesco a capire dove sta l'inghippo.
Nel senso: per $x->0$, gli estremi din integrazione sono entrambi $0$ e quindi mi verrebbe da concludere che il risultato fosse $0$.
Nel senso: per $x->0$, gli estremi din integrazione sono entrambi $0$ e quindi mi verrebbe da concludere che il risultato fosse $0$.
Si ma quello lo puoi dire automaticamente quando la funzione integranda non presenta singolarità. Se $f$ è continua in un intervallo $I$, e se $x_0 \in I$, allora la funzione $F(x)=int_{x_0}^xf(t)dt$ è certamente derivabile in tutto $I$ e in particolare essa è continua. Quindi puoi scrivere tranquillamente
$lim_{x \to x_0} F(x)=F(x_0)=0$.
Ma qui hai a che fare con un integrale improprio. Prima devi verificare che esso è convergente, no? Altrimenti potrebbe non avere senso nulla. Poi devi calcolare il limite: si, fa zero, ma non è ovvio. Prova a calcolare
$lim_{x\to0} frac{F(x)}{x}$
usando la regola di l'Hôpital. Se salta fuori che quest'ultimo limite vale zero, allora hai finito... Perché?
$lim_{x \to x_0} F(x)=F(x_0)=0$.
Ma qui hai a che fare con un integrale improprio. Prima devi verificare che esso è convergente, no? Altrimenti potrebbe non avere senso nulla. Poi devi calcolare il limite: si, fa zero, ma non è ovvio. Prova a calcolare
$lim_{x\to0} frac{F(x)}{x}$
usando la regola di l'Hôpital. Se salta fuori che quest'ultimo limite vale zero, allora hai finito... Perché?
Non riesco a seguirti.
Se puoi essere più specifico su cosa non hai capito vedo se posso venirti incontro. Putroppo non ho il tempo di mettermi a spiegare tutto per filo e per segno. 
In generale, come risolvere l'esercizio, ma anche
"dissonance":
usando la regola di l'Hôpital. Se salta fuori che quest'ultimo limite vale zero, allora hai finito... Perché?
Prendi una funzione $F: I \to RR$, dove $I$ è un intervallo contenente $0$. Immagina di sapere che
$lim_{x \to 0} frac{F(x)}{x}=0$.
Può essere mai che $F$ non tenda a zero al tendere a zero di $x$? E no. Anzi, tu stai dicendo molto di più: stai dicendo che $F$ tende a zero più velocemente di quanto non faccia $x$. Per una dimostrazione formale, basta scrivere $G(x)=(F(x))/x$. Allora $F(x)=G(x)*x$ e, per il teorema sul prodotto dei limiti,
$lim_{x \to 0} F(x)=\lim_{x \to 0}xG(x)=0*0$.
$lim_{x \to 0} frac{F(x)}{x}=0$.
Può essere mai che $F$ non tenda a zero al tendere a zero di $x$? E no. Anzi, tu stai dicendo molto di più: stai dicendo che $F$ tende a zero più velocemente di quanto non faccia $x$. Per una dimostrazione formale, basta scrivere $G(x)=(F(x))/x$. Allora $F(x)=G(x)*x$ e, per il teorema sul prodotto dei limiti,
$lim_{x \to 0} F(x)=\lim_{x \to 0}xG(x)=0*0$.
"Mirino06":
Cioè, se gli estremi di integrazione sono entambi $0$, non dovrebbe allora fare $0$ il limite?
No.
Ad esempio, considera la funzione [tex]F(x):=\int_0^x \frac{1}{t}\ \text{d} t[/tex] e prova a calcolare [tex]$\lim_{x\to 0^+} F(x)$[/tex].
"dissonance":
Prendi una funzione $F: I \to RR$, dove $I$ è un intervallo contenente $0$. Immagina di sapere che
$lim_{x \to 0} frac{F(x)}{x}=0$.
Può essere mai che $F$ non tenda a zero al tendere a zero di $x$? E no. Anzi, tu stai dicendo molto di più: stai dicendo che $F$ tende a zero più velocemente di quanto non faccia $x$.
E se $lim_{x \to 0} frac{F(x)}{x}$ fosse stato $!=0$, $x$ andava più velocemente a $0$ di $F(x)$, ma cosa avrei concluso sul limite dell'integrale?
"gugo82":
[quote="Mirino06"]Cioè, se gli estremi di integrazione sono entambi $0$, non dovrebbe allora fare $0$ il limite?
No.
Ad esempio, considera la funzione [tex]F(x):=\int_0^x \frac{1}{t}\ \text{d} t[/tex] e prova a calcolare [tex]$\lim_{x\to 0^+} F(x)$[/tex].[/quote]
Grazie, ho capito.
"Mirino06":Non avresti potuto concludere nulla. Però, ***attenzione***, mi sa che hai ragione a sentire puzza di bruciato perché qua c'è il serissimo rischio che io la stia sparando proprio grossa.
E se $lim_{x \to 0} frac{F(x)}{x}$ fosse stato $!=0$, $x$ andava più velocemente a $0$ di $F(x)$, ma cosa avrei concluso sul limite dell'integrale?
Infatti la regola di l'Hôpital nel caso $0/0$ si applica quando si sa a priori che numeratore e il denominatore sono infinitesimi. Nel nostro caso, quello del rapporto $(F(x))/x$, noi sappiamo che, per $x \to 0$, il denominatore è infinitesimo ma sul numeratore non sappiamo proprio nulla.
Quindi il ricorso alla regola di l'Hôpital è completamente infondato ed è anzi un errore da bocciatura del quale non so davvero come scusarmi, spero solo di non averti confuso le idee.
Per fare un esempio che metta in luce l'idiozia da me sparata, per quanto ne sappiamo a priori potrebbe pure essere $F(x)=1$ identicamente. Allora la derivata $F'(x)$ è identicamente nulla, cosicché applicando demenzialmente la regola di l'Hôpital come ho fatto io in precedenza concluderemmo che
$lim_{x \to 0} (F(x))/x=\lim_{x\ to 0} (F'(x))/(1)=0$
cioè $lim_{x \to 0} 1/x=0$!!! Una grossa stupidaggine.
"Mirino06":
Ciao, è possibile che questo limite faccia $0$?
$Lim_(x->0)$[tex]\int_{0}^{x}\frac{\sin3t^{2}\sqrt{1-t^{2}}-t\arctan 3t}{\log(1+2t^{2})}dt[/tex]
L'integrando [tex]$f(t)$[/tex] è definito e continuo in qualche intorno destro di [tex]$0$[/tex] e però è anche continuo in [tex]$0$[/tex]: infatti usando Taylor:
[tex]$\sin 3t^2 \approx 3t^2-\tfrac{9}{2}t^6$[/tex]
[tex]$\sqrt{1-t^2} \approx 1$[/tex]
[tex]$t\arctan 3t^2 \approx t(3t-9 t^3)=3t^2-9 t^4$[/tex]
[tex]$\ln (1+2t^2) \approx 2t^2$[/tex]
si trova:
[tex]$\frac{\sin3t^{2}\sqrt{1-t^{2}}-t\arctan 3t}{\log(1+2t^{2})} \approx \frac{9t^4}{2t^2} \to 0$[/tex].
quindi l'integrando è continuo in [tex]$[0,\delta]$[/tex].
Conseguentemente vale il teorema della media e perciò:
[tex]$\int_0^x \frac{\sin3t^{2}\sqrt{1-t^{2}}-t\arctan 3t}{\log(1+2t^{2})}\ \text{d} t = f(\xi)\ x$[/tex];
Per terminare e calcolare il limite basta applicare il teorema dei carabinieri.
"dissonance":Non avresti potuto concludere nulla. Però, ***attenzione***, mi sa che hai ragione a sentire puzza di bruciato perché qua c'è il serissimo rischio che io la stia sparando proprio grossa.
[quote="Mirino06"]E se $lim_{x \to 0} frac{F(x)}{x}$ fosse stato $!=0$, $x$ andava più velocemente a $0$ di $F(x)$, ma cosa avrei concluso sul limite dell'integrale?
Infatti la regola di l'Hôpital nel caso $0/0$ si applica quando si sa a priori che numeratore e il denominatore sono infinitesimi. Nel nostro caso, quello del rapporto $(F(x))/x$, noi sappiamo che, per $x \to 0$, il denominatore è infinitesimo ma sul numeratore non sappiamo proprio nulla.
Quindi il ricorso alla regola di l'Hôpital è completamente infondato ed è anzi un errore da bocciatura del quale non so davvero come scusarmi, spero solo di non averti confuso le idee.
Per fare un esempio che metta in luce l'idiozia da me sparata, per quanto ne sappiamo a priori potrebbe pure essere $F(x)=1$ identicamente. Allora la derivata $F'(x)$ è identicamente nulla, cosicché applicando demenzialmente la regola di l'Hôpital come ho fatto io in precedenza concluderemmo che
$lim_{x \to 0} (F(x))/x=\lim_{x\ to 0} (F'(x))/(1)=0$
cioè $lim_{x \to 0} 1/x=0$!!! Una grossa stupidaggine.[/quote]
Ciao, non ho capito una cosa.
Se avere entrambi gli estremi di integrazione $=0$ non implica che l'integrale necessariamente faccia $0$, allora perché si può usare Hopital per calcolare questo limite? N.B l'integrale si riferisce solo al
numeratore. $Lim_(x->0)\frac{\int_{0}^{x}(1-\cost)\log(1+t)dt}{x^{4}}$. Voglio dire: come si fa a concludere che il numeratore fa $0$? Grazie.
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