Limite di integrale
Salve,
nella risoluzione di alcuni integrali in campo reale, ci è richiesto di costruire curve ad hoc e utilizzare il teorema dei residui.
La mia domanda è la seguente: in questo tipo di risoluzione, mi sono trovato più volte ad affrontare alcuni integrali che per il mio docente "vanno a zero" (e che quindi mi danno un contributo nullo), ma non ne capisco il motivo. Propongo un esempio:
$int_gamma lnx/(1+x^2)dx$
dove $gamma$ è una circonferenza centrata nell'origine, di raggio $R$.
Risolvo l'integrale di linea e ottengo:
$int_gamma lnx/(1+x^2)dx = int_0^(2pi) iR e^(it) ln(R e^(it))/(1+R^2e^(2it))dt$
a questo punto valuto il modulo e uso Darboux, da cui ricavo
$|int_0^(2pi) iR e^(it) ln(R e^(it))/(1+R^2e^(2it))dt|<= 2piR |iR|max_(tin[0,2pi])|e^(it) (lnR+it)/(1+R^2e^(2it))|<= 2piR^2(|lnR+2pii|/(1+R^2))$
che, per $R->oo$ diverge come $lnR$ e quindi non mi dà informazioni utili.
Qualcuno mi sa dire se sbaglio qualche calcolo, o se (come credo) uso un metodo non appropriato?
nella risoluzione di alcuni integrali in campo reale, ci è richiesto di costruire curve ad hoc e utilizzare il teorema dei residui.
La mia domanda è la seguente: in questo tipo di risoluzione, mi sono trovato più volte ad affrontare alcuni integrali che per il mio docente "vanno a zero" (e che quindi mi danno un contributo nullo), ma non ne capisco il motivo. Propongo un esempio:
$int_gamma lnx/(1+x^2)dx$
dove $gamma$ è una circonferenza centrata nell'origine, di raggio $R$.
Risolvo l'integrale di linea e ottengo:
$int_gamma lnx/(1+x^2)dx = int_0^(2pi) iR e^(it) ln(R e^(it))/(1+R^2e^(2it))dt$
a questo punto valuto il modulo e uso Darboux, da cui ricavo
$|int_0^(2pi) iR e^(it) ln(R e^(it))/(1+R^2e^(2it))dt|<= 2piR |iR|max_(tin[0,2pi])|e^(it) (lnR+it)/(1+R^2e^(2it))|<= 2piR^2(|lnR+2pii|/(1+R^2))$
che, per $R->oo$ diverge come $lnR$ e quindi non mi dà informazioni utili.
Qualcuno mi sa dire se sbaglio qualche calcolo, o se (come credo) uso un metodo non appropriato?
Risposte
"greg_91":è da qui sopra a qui sotto
$|int_0^(2pi) iR e^(it) ln(R e^(it))/(1+R^2e^(2it))dt|$
$ 2piR |iR|max_(tin[0,2pi])|e^(it) (lnR+it)/(1+R^2e^(2it))|$
che nascono i problemi.
L'hai fatto tu, l'hai copiato da uno svolgimento ?
Intanto va messo a posto, poi ci sono le necessarie considerazioni da fare.
Il punto di partenza è che $|\intf(z)dz| \le \int|f(z)|dz$
No questo l'ho fatto io, è no dei miei tentativi falliti. Perché ci sono problemi?io ho usato
$|int_a^bf(z)dz|<=int_b^a|f(z)|dz<=|(b-a)||f(z)|$
non riesco a capire, è sbagliato?
$|int_a^bf(z)dz|<=int_b^a|f(z)|dz<=|(b-a)||f(z)|$
non riesco a capire, è sbagliato?
"greg_91":
No questo l'ho fatto io, è no dei miei tentativi falliti. Perché ci sono problemi?io ho usato
$|int_a^bf(z)dz|<=int_b^a|f(z)|dz<=|(b-a)f(z)|$
non riesco a capire, è sbagliato?
Cos'è $|(b-a)f(z)|$ ?
giusto, ho dimenticato un max. Però mi sta venendo un dubbio, non posso scrivere
$int_a^b|f(z)|dz<=|b-a|max_(zin[a,b])|f(z)|$?
$int_a^b|f(z)|dz<=|b-a|max_(zin[a,b])|f(z)|$?
Ok, però devi cercare di capire il senso delle formule che scrivi altrimenti il "casino" che ne può nascere è di dimensioni immani.
La scritta $\int_a^b$ in campo complesso non vuol dire nulla, perchè in campo complesso si integra lungo una curva, quindi in campo complesso si scrive $\int_(\Gamma)$, dove $\Gamma$ è la curva.
Io capisco che poi tu dici: tanto io faccio l'integrale su una circonferenza quindi per me $z=Re^(i\theta)$, quindi $|b-a|=2\pi$ però si rischia di fare una confusione pazzesca.
La cosa da scrivere è: $\int_(\Gamma)|f(z)|dz \le 2\pi\ R\ max_(|z|=R)|f(\theta)|$ dove $\Gamma={|z|=R}$, anche se qualcuno avrebbe ancora qualcosa da ridire.
Adesso se provi a riscrivere il tuo integrale vedi che viene una cosa diversa.
La scritta $\int_a^b$ in campo complesso non vuol dire nulla, perchè in campo complesso si integra lungo una curva, quindi in campo complesso si scrive $\int_(\Gamma)$, dove $\Gamma$ è la curva.
Io capisco che poi tu dici: tanto io faccio l'integrale su una circonferenza quindi per me $z=Re^(i\theta)$, quindi $|b-a|=2\pi$ però si rischia di fare una confusione pazzesca.
La cosa da scrivere è: $\int_(\Gamma)|f(z)|dz \le 2\pi\ R\ max_(|z|=R)|f(\theta)|$ dove $\Gamma={|z|=R}$, anche se qualcuno avrebbe ancora qualcosa da ridire.
Adesso se provi a riscrivere il tuo integrale vedi che viene una cosa diversa.
Perfetto, giusto! Infatti ora ho un termine $R$ al denominatore in meno e va a zero, grazie mille!
Volevo dire al numeratore! Grazie ancora.
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