Limite di insiemi misurabili
Vi mostro un esercizio che dovrei svolgere:
Sia $A \subset R$ misurabile Lebesgue.
provare che quasi ogni $x \in A$ e quasiasi collezione di intervalli {$I_h$} tali che $x \in I_h$ per ogni $h$ e $\lambda(I_h)\rightarrow 0$ quando $h \rightarrow 0$
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\lambda(A\cap I_h)}{\lambda(I_h)}=1$
Questo è quello che ho fatto finora:
if I define for all $a\leq x \leq b$ $f(x)=\lambda(A\cap[a,x]), \qquad f_n(x)=\lambda(V_n\cup[a,x])$
dove posso considerare $A$ contenuto in $[a,b]$ senza perdita di generalità e $V_n$ un insieme aperto contenente E tal che: $$\lambda(V_n)=\lambda(A)+2^{-n}$$
quindi devo dimostrare che $f'(x)=1$ a.e
Io posso provare che $(f_n-f)$ è crescente, positiva e $f_n-f \leq 2^{-n}$.
Applicando il teorema di Fubini alla serie:
$\sum_n (f_n-f)$ iimplica che a.e $f'_n(x)-f(x)\rightarrow 0$ ma per ogni $x\in A,\qquad f'_n(x)=1$ per tutti gli interi $n$.
Pensate che possa avere senso? C'è qualcosa che ho dimenticato di dimostrare o chiarire? Avete un'idea che non comprenda il teorema di Fubini?
Sia $A \subset R$ misurabile Lebesgue.
provare che quasi ogni $x \in A$ e quasiasi collezione di intervalli {$I_h$} tali che $x \in I_h$ per ogni $h$ e $\lambda(I_h)\rightarrow 0$ quando $h \rightarrow 0$
$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\lambda(A\cap I_h)}{\lambda(I_h)}=1$
Questo è quello che ho fatto finora:
if I define for all $a\leq x \leq b$ $f(x)=\lambda(A\cap[a,x]), \qquad f_n(x)=\lambda(V_n\cup[a,x])$
dove posso considerare $A$ contenuto in $[a,b]$ senza perdita di generalità e $V_n$ un insieme aperto contenente E tal che: $$\lambda(V_n)=\lambda(A)+2^{-n}$$
quindi devo dimostrare che $f'(x)=1$ a.e
Io posso provare che $(f_n-f)$ è crescente, positiva e $f_n-f \leq 2^{-n}$.
Applicando il teorema di Fubini alla serie:
$\sum_n (f_n-f)$ iimplica che a.e $f'_n(x)-f(x)\rightarrow 0$ ma per ogni $x\in A,\qquad f'_n(x)=1$ per tutti gli interi $n$.
Pensate che possa avere senso? C'è qualcosa che ho dimenticato di dimostrare o chiarire? Avete un'idea che non comprenda il teorema di Fubini?
Risposte
EDIT: Perdonami, ci sono alcune cose che non mi tornano (magari sono giuste e sono troppo stanco per accorgermene):
La tua collezione di intervalli (arbitraria) è numerabile? Sarebbe $h -> +oo$?
E poi: se $A$ ha misura nulla, quel limite mi sembra sia $0$. Sbaglio?
La tua collezione di intervalli (arbitraria) è numerabile? Sarebbe $h -> +oo$?
E poi: se $A$ ha misura nulla, quel limite mi sembra sia $0$. Sbaglio?
a quanto ho capito, quello che devi dimostrare è la versione monodimensione del Teorema di densità di Lebesgue (anche detto "Lebesgue density theorem"); in altri termini, vuoi far vedere che se \(E\subseteq \mathbb{R}\) è misurabile ed ha misura positiva, allora risulta:
\[
\tag{D}
\lim_{h\to 0^+} \frac{|E\cap ]x-h,x+h[|}{2h} = 1 \quad \text{per q.o. } x\in E
\]
(qui ho usato \(]x-h,x+h[\) al posto dei tuoi \(I_h\) e \(|\cdot|\) al posto di \(\lambda (\cdot)\) per denotare la misura).
Per dimostrare la (P) io proverei a procedere "per densità", senza usare risultati troppo forti (se non ho capito male, tu vuoi usare il teorema di derivazione di Lebesgue, o qualcosa di simile); insomma: provi la (P) prima per gli aperti, poi per i compatti, poi per i misurabili limitati ed infine per i misurabili non limitati.
Tuttavia non so se questa strategia funziona... Prova un po'.
\[
\tag{D}
\lim_{h\to 0^+} \frac{|E\cap ]x-h,x+h[|}{2h} = 1 \quad \text{per q.o. } x\in E
\]
(qui ho usato \(]x-h,x+h[\) al posto dei tuoi \(I_h\) e \(|\cdot|\) al posto di \(\lambda (\cdot)\) per denotare la misura).
Per dimostrare la (P) io proverei a procedere "per densità", senza usare risultati troppo forti (se non ho capito male, tu vuoi usare il teorema di derivazione di Lebesgue, o qualcosa di simile); insomma: provi la (P) prima per gli aperti, poi per i compatti, poi per i misurabili limitati ed infine per i misurabili non limitati.
Tuttavia non so se questa strategia funziona... Prova un po'.
Chiedo scusa per la latitanza.
Dunque cerco di riassumere anche quello che ho potuto vedere fino a questo punto.
Dunque la collezione è arbitraria quindi no specifica se numerabile o meno. L'intervallo va a zero per $h\rightarrow 0$
In effetti anche a me sembra esattamente il teorema di densità di Lebesgue in dimensione 1, solo che mi pare strano doverlo risolvere come esercizio o comunque averlo tra gli esercizi per fare pratica quando l'abbiamo usato anche in classe e dimostrato.
Mi chiedevo quindi se io mi ero persa qualche dettaglio magari. Ho pensato magari ad usare diversi intervalli ma essendo in $R$ e dovendo tendere a 0 per h tendente a 0 per forza di cose gli intervalli sono del tipo da te indicato..
Resto perplessa.Proveròa verificare direttamente col professore per appurare la questione e poi magari saprò dirvi meglio, comunque grazie.
Dunque cerco di riassumere anche quello che ho potuto vedere fino a questo punto.
Dunque la collezione è arbitraria quindi no specifica se numerabile o meno. L'intervallo va a zero per $h\rightarrow 0$
In effetti anche a me sembra esattamente il teorema di densità di Lebesgue in dimensione 1, solo che mi pare strano doverlo risolvere come esercizio o comunque averlo tra gli esercizi per fare pratica quando l'abbiamo usato anche in classe e dimostrato.
Mi chiedevo quindi se io mi ero persa qualche dettaglio magari. Ho pensato magari ad usare diversi intervalli ma essendo in $R$ e dovendo tendere a 0 per h tendente a 0 per forza di cose gli intervalli sono del tipo da te indicato..
Resto perplessa.Proveròa verificare direttamente col professore per appurare la questione e poi magari saprò dirvi meglio, comunque grazie.
Dunque, rieccomi:
anche secondo i miei compagni questa è una versione del teorema di densità di Lebesgue che abbiamo appunto per altro dimostrato e studiato. Mi chiedevo quindi se il fatto di inserire gli intervalli come generici $I_h$ contenenti x e non come centrati in x potesse cambiare le cose.
In realtà mi sembra di no visto che comunque al tendere a zero di $h$ l'intervallo tende necessariamente ad x, a voi sembra che questa lieve differenza faccia sorgere problemi che necessitino di particolari escamotage?Mi rendo conto che la domanda può sembrare un po' strana ma il quesito mi lascia perplessa.
anche secondo i miei compagni questa è una versione del teorema di densità di Lebesgue che abbiamo appunto per altro dimostrato e studiato. Mi chiedevo quindi se il fatto di inserire gli intervalli come generici $I_h$ contenenti x e non come centrati in x potesse cambiare le cose.
In realtà mi sembra di no visto che comunque al tendere a zero di $h$ l'intervallo tende necessariamente ad x, a voi sembra che questa lieve differenza faccia sorgere problemi che necessitino di particolari escamotage?Mi rendo conto che la domanda può sembrare un po' strana ma il quesito mi lascia perplessa.
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