Limite di funzioni trigonometriche in due variabili

[lessandroA1]

Buonasera, cercando di risolvere questo limite in due variabili $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\sin\sqrt{x^2 + 2y^2} - \tan\sqrt{x^2 + 2y^2}}{1 - \cos\sqrt{x^2 + y^2}}$ continuo ad ottenere una forma indeterminata del tipo $ 0/0 $ o $ \infty * 0 $. Ho completato i limiti notevoli ma non sono giunto ad una conclusione, e non sono stato capace di applicare una sostituzione per ricondurmi ad un limite in una variabile, perché l'argomento delle funzioni è diverso.
Come si può risolvere?

[Studente Anonimo]

Intanto, per considerazioni di simmetria, è possibile limitare l'analisi al 1° quadrante. Inoltre, poiché:

$[y=0] rarr [lim_(x->0)(sinx-tgx)/(1-cosx)=0]$

se il limite esiste è necessariamente nullo. A questo punto, una strategia può consistere nel maggiorare avendo cura che l'argomento delle funzioni goniometriche sia lo stesso.

[gugo82]

Beh, $sin$, $tan$ e $cos$ possono essere approssimati col proprio polinomio di Taylor (tecnica che dovresti conoscere da Analisi I).
Così facendo trovi che il tuo limite è equivalente a:

$lim_((x,y) -> (0,0)) - ((x^2 + 2y^2) sqrt(x^2 + 2y^2))/(x^2 + y^2)$

(se non ho sbagliato i calcoli "a occhio") e qui dovresti saper terminare.

[lessandroA1]

Grazie mille a entrambi, avevo pensato ad una soluzione efficiente con la maggiorazione ma non ero giunto a conclusioni, però ho visto che con taylor viene il limite di una $\alpha$-omogenea con $ \alpha > 1$, quindi convergente.