Limite di funzioni razionali fratte
Perché $lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x-sqrt(-x))=-1$ ?
Io ho fatto:
$lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x+sqrt(x))={xsqrt(1+(1/x^2))}/{x(1+sqrt(x)/x)}={sqrt(1+(1/x^2))}/{(1+sqrt(x)/x)}={sqrt(1+0)}/{(1+0)}=1$
Cosa sbaglio?
razionalizzando mi viene comunque 1... Quel "meno" da dove spunta? 
altri metodi? Ad esempio con il confronto tra infiniti è fattibile? Cosa dovrei trascurare in questo caso che $x->-oo$ la gerarchia non rimane uguale per i vari esponenti e quindi continua a tendere più velocemente a meno infinito quello con esponente maggiore?
Help me.
Io ho fatto:
$lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x+sqrt(x))={xsqrt(1+(1/x^2))}/{x(1+sqrt(x)/x)}={sqrt(1+(1/x^2))}/{(1+sqrt(x)/x)}={sqrt(1+0)}/{(1+0)}=1$
Cosa sbaglio?
razionalizzando mi viene comunque 1... Quel "meno" da dove spunta? altri metodi? Ad esempio con il confronto tra infiniti è fattibile? Cosa dovrei trascurare in questo caso che $x->-oo$ la gerarchia non rimane uguale per i vari esponenti e quindi continua a tendere più velocemente a meno infinito quello con esponente maggiore?Help me.
Risposte
Ciao.
Attenzione, al di là della dimenticanza dell'operatore limite nello svolgimento dei passaggi, il limite che hai svolto non è affatto equivalente a quello proposto.
Limite proposto: $ lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x-sqrt(-x))$
Limite svolto:$ lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x+sqrt(x)) $
Il primo limite non ha problemi di esistenza, mentre il secondo limite non può esistere, perchè non esiste $lim_(x->-oo)sqrt(x)$.
Svolgimento:
$lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x-sqrt(-x))=lim_(x->-oo)sqrt(x^2*(1+1/x^2))/(x(1-sqrt(-x)/x))=lim_(x->-oo)sqrt(x^2*(1+1/x^2))/(x(1+sqrt(-x)/((-x))))=lim_(x->-oo) (-x*sqrt(1+1/x^2))/(x(1+1/sqrt(-x)))$
Quindi:
$lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x-sqrt(-x))=lim_(x->-oo) (-sqrt(1+1/x^2))/(1+1/sqrt(-x))=-1$
Nel momento in cui si porta fuori dalla radice quadrata (al numeratore) il fattore $x^2$, esso si trasforma in $x$, ma dal momento che $x to -oo$, è necessario cambiare segno al fattore "trasportato" fuori dalla radice.
Infatti un errore abbastanza comune è quello di ritenere valida l'uguaglianza $sqrt(x^2)=x$; vale, invece, $sqrt(x^2)=|x|$, per cui, nei casi in cui si avesse $x<0$, sarebbe più corretto scrivere $sqrt(x^2)=-x$.
Questo discorso, di fatto, coinvolge tutti i radicali con indice di radice pari.
Spero di aver resa l'idea.
Saluti.
Attenzione, al di là della dimenticanza dell'operatore limite nello svolgimento dei passaggi, il limite che hai svolto non è affatto equivalente a quello proposto.
Limite proposto: $ lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x-sqrt(-x))$
Limite svolto:$ lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x+sqrt(x)) $
Il primo limite non ha problemi di esistenza, mentre il secondo limite non può esistere, perchè non esiste $lim_(x->-oo)sqrt(x)$.
Svolgimento:
$lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x-sqrt(-x))=lim_(x->-oo)sqrt(x^2*(1+1/x^2))/(x(1-sqrt(-x)/x))=lim_(x->-oo)sqrt(x^2*(1+1/x^2))/(x(1+sqrt(-x)/((-x))))=lim_(x->-oo) (-x*sqrt(1+1/x^2))/(x(1+1/sqrt(-x)))$
Quindi:
$lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x-sqrt(-x))=lim_(x->-oo) (-sqrt(1+1/x^2))/(1+1/sqrt(-x))=-1$
Nel momento in cui si porta fuori dalla radice quadrata (al numeratore) il fattore $x^2$, esso si trasforma in $x$, ma dal momento che $x to -oo$, è necessario cambiare segno al fattore "trasportato" fuori dalla radice.
Infatti un errore abbastanza comune è quello di ritenere valida l'uguaglianza $sqrt(x^2)=x$; vale, invece, $sqrt(x^2)=|x|$, per cui, nei casi in cui si avesse $x<0$, sarebbe più corretto scrivere $sqrt(x^2)=-x$.
Questo discorso, di fatto, coinvolge tutti i radicali con indice di radice pari.
Spero di aver resa l'idea.
Saluti.
Chiarissimo 
grazie mille, sei stato davvero molto utile. 
grazie mille, sei stato davvero molto utile.
Mi fa davvero molto piacere.
Saluti.
Saluti.
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