Limite di funzioni razionali fratte

[phigreco1]

Perché $lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x-sqrt(-x))=-1$ ?

Io ho fatto:
$lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x+sqrt(x))={xsqrt(1+(1/x^2))}/{x(1+sqrt(x)/x)}={sqrt(1+(1/x^2))}/{(1+sqrt(x)/x)}={sqrt(1+0)}/{(1+0)}=1$

Cosa sbaglio? razionalizzando mi viene comunque 1... Quel "meno" da dove spunta? altri metodi? Ad esempio con il confronto tra infiniti è fattibile? Cosa dovrei trascurare in questo caso che $x->-oo$ la gerarchia non rimane uguale per i vari esponenti e quindi continua a tendere più velocemente a meno infinito quello con esponente maggiore?

Help me.

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Attenzione, al di là della dimenticanza dell'operatore limite nello svolgimento dei passaggi, il limite che hai svolto non è affatto equivalente a quello proposto.

Limite proposto: $ lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x-sqrt(-x))$

Limite svolto:$ lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x+sqrt(x)) $

Il primo limite non ha problemi di esistenza, mentre il secondo limite non può esistere, perchè non esiste $lim_(x->-oo)sqrt(x)$.

Svolgimento:

$lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x-sqrt(-x))=lim_(x->-oo)sqrt(x^2*(1+1/x^2))/(x(1-sqrt(-x)/x))=lim_(x->-oo)sqrt(x^2*(1+1/x^2))/(x(1+sqrt(-x)/((-x))))=lim_(x->-oo) (-x*sqrt(1+1/x^2))/(x(1+1/sqrt(-x)))$

Quindi:

$lim_(x->-oo)(sqrt(x^2+1))/(x-sqrt(-x))=lim_(x->-oo) (-sqrt(1+1/x^2))/(1+1/sqrt(-x))=-1$

Nel momento in cui si porta fuori dalla radice quadrata (al numeratore) il fattore $x^2$, esso si trasforma in $x$, ma dal momento che $x to -oo$, è necessario cambiare segno al fattore "trasportato" fuori dalla radice.

Infatti un errore abbastanza comune è quello di ritenere valida l'uguaglianza $sqrt(x^2)=x$; vale, invece, $sqrt(x^2)=|x|$, per cui, nei casi in cui si avesse $x<0$, sarebbe più corretto scrivere $sqrt(x^2)=-x$.

Questo discorso, di fatto, coinvolge tutti i radicali con indice di radice pari.

Spero di aver resa l'idea.

Saluti.

[phigreco1]

Chiarissimo grazie mille, sei stato davvero molto utile.

[Sk_Anonymous]

Mi fa davvero molto piacere.

Saluti.