Limite di funzioni
Ciao a tutti..
se considero il limite $ lim_(x -> 0+) e^(ln(x)+ln(log_3(x))) $ vado semplicemente a "sostituire" 0 al posto della $x$ e allora $log_3(0)--> -oo$ di conseguenza mi ritrovo $ln(-oo)$ che però non è definito!! .. a questo punto mi domando.. quando si presenta una situazione del genere posso escludere,semplicemente, dal limite$ln(log_3(x))$ che risulta non definito?? perchè poi se escludo $ln(log_3(x))$ e considero solamente $ lim_(x -> 0+) e^(ln(x))$ il risultato mi viene!!
grazie a tutti per la risposta!!
se considero il limite $ lim_(x -> 0+) e^(ln(x)+ln(log_3(x))) $ vado semplicemente a "sostituire" 0 al posto della $x$ e allora $log_3(0)--> -oo$ di conseguenza mi ritrovo $ln(-oo)$ che però non è definito!! .. a questo punto mi domando.. quando si presenta una situazione del genere posso escludere,semplicemente, dal limite$ln(log_3(x))$ che risulta non definito?? perchè poi se escludo $ln(log_3(x))$ e considero solamente $ lim_(x -> 0+) e^(ln(x))$ il risultato mi viene!!
grazie a tutti per la risposta!!
Risposte
Io non vorrei dire, ma $e^{\ln x+\ln(\log_3 x)}=e^{\ln x}\cdot e^{\ln(\log_3 x)}=x\cdot\log_3 x$, e quindi, per confronto di infinitesimi, il limite viene zero (la $x$ vince sul logaritmo). Certo che, a vederla di primo acchito, questa funzione è definita solo su $(1,+\infty)$... strano! Direi che il limite in $0^+$ non lo puoi neanche considerare. Eppure, usando l'identità di esponenziali/logaritmi, la funzione sembra poi definita in $(0,+\infty)$.
E come è possibile?!
$y=ln(log_3x)$ è definita per $x>1$ in $0$ non ci puoi proprio arrivare!
$y=ln(log_3x)$ è definita per $x>1$ in $0$ non ci puoi proprio arrivare!
Credo che fosse pensato per essere risolto come ha scritto ciampax ma è posto male: una funzione è caratterizzata anche dal suo dominio e qua il più grande che si può dare è $(1,+\infty)$. Poi il fatto che si possa estendere in modo "naturale" a un dominio più ampio è un altro discorso. Il problema è che vuoi invertire funzioni non invertibili (non suriettive) allora restringi il dominio dell'inversa all'immagine. Dopo non puoi volerlo intero. Voglio dire che le identità non sono proprio identità: se cambi il dominio cambi la funzione. Se ti restringi ad un dominio comune allora sono identità.
Grazie a tutti ragazzi ..alla fine ci sono riuscita!! era solo un problema per come ero arrivata a scriverlo.. ora però non capisco questo limite qua $lim_(x->+oo )( e^(-x)+1/4|sinx|)^(3x)$.
io l'ho risolto cosi.. poiche $0<=|sinx|>=1$ e $e^(-x)->0 $ per $x->+oo$ allora la base dell'esponenziale è un numero finito cioè$1/4|sinx|$ che elevato alla $3x$ va a $+oo$ .. Il problema mi si pone invece quando $|sinx|=0$ e in questo caso tutta la funzione tende a $0$... alla fine quindi NON ESISTE il limite..secondo me!
cos'è che sbaglio?? xchè nelle soluzioni viene 0!
grazie infinite!!
io l'ho risolto cosi.. poiche $0<=|sinx|>=1$ e $e^(-x)->0 $ per $x->+oo$ allora la base dell'esponenziale è un numero finito cioè$1/4|sinx|$ che elevato alla $3x$ va a $+oo$ .. Il problema mi si pone invece quando $|sinx|=0$ e in questo caso tutta la funzione tende a $0$... alla fine quindi NON ESISTE il limite..secondo me!
cos'è che sbaglio?? xchè nelle soluzioni viene 0!
grazie infinite!!
Per $x\to\+infty$ hai che $e^(-x)\to\0$ mentre la funzione con il seno poichè ( la funzione seno generale varia da $-1,1$) è sempre una frazione perchè è moltiplicata per $1/4$ ed elevando una frazione a $to\infty$ ottieni $0$, perchè potresti scriverla nel seguente modo $1^(3x)/k^(3x)$ dove $k$ è la frazione risultante dalla moltiplicazione tra $1/4$ e il valore che di volta in volta assume la funzione seno(mai superiore a $|1|$).
Io lo risolverei in questo modo.
Io lo risolverei in questo modo.
@studentessa CdLmate: Basta notare che:
\[0\leq e^{-x} +\frac{1}{4}|\sin x|\leq \frac{1}{2}\]
per \(x\) sufficientemente grandi (infatti \(\lim_{x\to +\infty} e^{-x} =0\) e \(0\leq \frac{1}{4}|\sin x|\leq \frac{1}{4}\)) ed usare i teoremi di confronto.
\[0\leq e^{-x} +\frac{1}{4}|\sin x|\leq \frac{1}{2}\]
per \(x\) sufficientemente grandi (infatti \(\lim_{x\to +\infty} e^{-x} =0\) e \(0\leq \frac{1}{4}|\sin x|\leq \frac{1}{4}\)) ed usare i teoremi di confronto.
@emanuele78:
non ho capito come fai a passare da $ (e^(-x)+1/4|sinx|)^(3x) $ a $ e^(-3x^2)+(|sinx|^(3x))/(4^(3x))$ cioè non ho un prodotto tra parentesi ma una somma!
grazie!!
non ho capito come fai a passare da $ (e^(-x)+1/4|sinx|)^(3x) $ a $ e^(-3x^2)+(|sinx|^(3x))/(4^(3x))$ cioè non ho un prodotto tra parentesi ma una somma!
grazie!!
Infatti non considero ne la somma ne il prodotto. Considero il limite. Consideriamo il limite dell'argomento dentro la parentesi per $x\to\+infty$ allora sappiamo che $e^-x =0$ mentre l'altro elemento cioè $1/4*|senx|$ assume di volta in volta il valore di una frazione più o meno grande. Quindi risolvendo il limite per l'argomento dentro parentesi ti ritrovi $0+ 1/k$ che elevato a $to\+infty$ fa $0$.
Ripeto credo che sia corretto, magari qualcuno può confermare.
Ripeto credo che sia corretto, magari qualcuno può confermare.
ah ok ho capito!! si ora ho capito!! grazie mille!!
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