Limite di funzione. Tema esame
Verificare se è corretta la risoluzione di questo limite per favore. Se è corretta scrivete "è corretta" mentre se trovate uno o più errori scrivete pure. Grazie in anticipo
Calcolare \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow0} \)[tex]t(\sqrt{1+{t}^{2} }-1) \over t-\ln (1+t)-\left( 1 \over 2 \right){\ln }^{2}(1+t)[/tex]
SVOLGIMENTO
Numeratore
\(\displaystyle t \left(\frac{t^2}{2}+o(t^2)\right)=\frac{t^3}{2}+o(t^3) \)
Denominatore
\(\displaystyle t-\left(t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)\right)-\frac{1}{2}(\ln(1+t)\ln(1+t)) \)
\(\displaystyle \ln(1+t) \ln(1+t) =\left(t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)\right)^2=t^2+\frac{t^4}{4}+\frac{t^6}{9}+o(t^5)-t^3+\frac{2}{3}t^4-\frac{t^5}{3}=t^2+\frac{t^4}{4}-t^3+\frac{2}{3}t^4 -\frac{t^5}{3}+o(t^5)\)
\(\displaystyle t-\left(t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)\right)-\frac{1}{2}\left(t^2+\frac{t^4}{4}-t^3+\frac{2}{3}t^4 -\frac{t^5}{3}+o(t^5)\right)=\frac{t^2}{2}+o(t^2)-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{8}-\frac{t^4}{3}+\frac{t^5}{6}+o(t^5) \)
ora tutte le potenze maggiori di 3 vanno nell'o-piccolo e si ottiene \(\displaystyle \frac{t^3}{2}+o(t^3)\)
METTENDO ORA INSIEME NUMERATORE E DENOMINATORE SI HA \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow0}\frac{\frac{t^3}{2}+o(t^3)}{\frac{t^3}{2}+o(t^3)}=1 \)
Calcolare \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow0} \)[tex]t(\sqrt{1+{t}^{2} }-1) \over t-\ln (1+t)-\left( 1 \over 2 \right){\ln }^{2}(1+t)[/tex]
SVOLGIMENTO
Numeratore
\(\displaystyle t \left(\frac{t^2}{2}+o(t^2)\right)=\frac{t^3}{2}+o(t^3) \)
Denominatore
\(\displaystyle t-\left(t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)\right)-\frac{1}{2}(\ln(1+t)\ln(1+t)) \)
\(\displaystyle \ln(1+t) \ln(1+t) =\left(t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)\right)^2=t^2+\frac{t^4}{4}+\frac{t^6}{9}+o(t^5)-t^3+\frac{2}{3}t^4-\frac{t^5}{3}=t^2+\frac{t^4}{4}-t^3+\frac{2}{3}t^4 -\frac{t^5}{3}+o(t^5)\)
\(\displaystyle t-\left(t-\frac{t^2}{2}+o(t^2)\right)-\frac{1}{2}\left(t^2+\frac{t^4}{4}-t^3+\frac{2}{3}t^4 -\frac{t^5}{3}+o(t^5)\right)=\frac{t^2}{2}+o(t^2)-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{8}-\frac{t^4}{3}+\frac{t^5}{6}+o(t^5) \)
ora tutte le potenze maggiori di 3 vanno nell'o-piccolo e si ottiene \(\displaystyle \frac{t^3}{2}+o(t^3)\)
METTENDO ORA INSIEME NUMERATORE E DENOMINATORE SI HA \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow0}\frac{\frac{t^3}{2}+o(t^3)}{\frac{t^3}{2}+o(t^3)}=1 \)
Risposte
Di certo è sbagliato il denominatore.
Ricontrolla.
Ricontrolla.
cosa c'è di sbagliato al denominatore?
1 aiuto? per favore...
1 aiuto? per favore...
non capisco perchè nel secondo logaritmo consideri fino a $t^3$ mentre nel primo ti fermi a $t^2$......
"StefanoMDj":
non capisco perchè nel secondo logaritmo consideri fino a \(\displaystyle t^3 \) mentre nel primo ti fermi a \(\displaystyle t^2 \)...
Esatto.
avete ragione!
Ora credo di averlo messo a posto. Ditemi se è giusto ora così
al DENOMINATORE
\(\displaystyle t-\left(t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)\right)-\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{8}+\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{3}+\frac{t^5}{6}+o(t^5)= \)
\(\displaystyle =\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}+o(t^3)-\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{8}+\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{3}+\frac{t^5}{6}+o(t^5) \)
potenze superiori a 3 vanno nell'o-piccolo e si ottiene \(\displaystyle -\frac{t^3}{3}+\frac{t^3}{2}+o(t^3)=\frac{t^3}{6}+o(t^3) \)
mettendo insieme numeratore e denominatore si ottiene \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow0}\frac{\frac{t^3}{2}+o(t^3)}{\frac{t^3}{6}+o(t^3)} \sim \frac{\frac{t^3}{2}}{\frac{t^6}{6}}=3\)
ora è esatto?
Ora credo di averlo messo a posto. Ditemi se è giusto ora così
al DENOMINATORE
\(\displaystyle t-\left(t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)\right)-\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{8}+\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{3}+\frac{t^5}{6}+o(t^5)= \)
\(\displaystyle =\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}+o(t^3)-\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{8}+\frac{t^3}{2}-\frac{t^4}{3}+\frac{t^5}{6}+o(t^5) \)
potenze superiori a 3 vanno nell'o-piccolo e si ottiene \(\displaystyle -\frac{t^3}{3}+\frac{t^3}{2}+o(t^3)=\frac{t^3}{6}+o(t^3) \)
mettendo insieme numeratore e denominatore si ottiene \(\displaystyle \lim_{t\rightarrow0}\frac{\frac{t^3}{2}+o(t^3)}{\frac{t^3}{6}+o(t^3)} \sim \frac{\frac{t^3}{2}}{\frac{t^6}{6}}=3\)
ora è esatto?
Sisi.
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