Limite di funzione "salterina"
Ragazzi, sono alle prese con un esercizio sui limiti molto diverso da tutti quelli che ho risolto in precedenza. Il limite è il seguente:
$\lim_{x \to \+infty} (3x -senx)/(x + 2senx)$
Alla fine della risoluzione, il risultato che ottengo è uguale a quello di wolframalpha; ma non sono sicuro della validità del procedimento che ho utilizzato per risolvere il limite.
Essendo $x->\+infty$ mi viene da pensare che il limite non potrebbe esistere, visto che il seno oscilla; però quel 3x e quel x mi portano a pensare che il limite 'può esistere'.
Siccome il seno è compreso fra -1 e 1, di conseguenza osservo che numeratore e denominatore sono compresi fra:
- numeratore: $3x -1 <= 3x + senx <= 3x +1$;
- denominatore: $x -2<= x +2senx <= x+2$.
Quindi $(3x -1)/(x+2) <= (3x + senx)/(x + 2senx) <= (3x +1)/(x -2) , x->\+infty$
Ora siccome $\lim_{x \to \+infty}(3x -1)/(x+2) =3$ e $\lim_{x \to \+infty}(3x +1)/(x-2) =3$, per il teorema dei cabinieri $\lim_{x \to \+infty} (3x -senx)/(x + 2senx) = 3$
$\lim_{x \to \+infty} (3x -senx)/(x + 2senx)$
Alla fine della risoluzione, il risultato che ottengo è uguale a quello di wolframalpha; ma non sono sicuro della validità del procedimento che ho utilizzato per risolvere il limite.
Essendo $x->\+infty$ mi viene da pensare che il limite non potrebbe esistere, visto che il seno oscilla; però quel 3x e quel x mi portano a pensare che il limite 'può esistere'.
Siccome il seno è compreso fra -1 e 1, di conseguenza osservo che numeratore e denominatore sono compresi fra:
- numeratore: $3x -1 <= 3x + senx <= 3x +1$;
- denominatore: $x -2<= x +2senx <= x+2$.
Quindi $(3x -1)/(x+2) <= (3x + senx)/(x + 2senx) <= (3x +1)/(x -2) , x->\+infty$
Ora siccome $\lim_{x \to \+infty}(3x -1)/(x+2) =3$ e $\lim_{x \to \+infty}(3x +1)/(x-2) =3$, per il teorema dei cabinieri $\lim_{x \to \+infty} (3x -senx)/(x + 2senx) = 3$
Risposte
La funzione seno è limitata in $[-1,1]$ quindi, essendo sommata a un termine che tende a infinito ($3x$ al numeratore, $x$ al denominatore), all'infinito è trascurabile e perciò
$lim_(x->oo)(3x-sin(x))/(x+2sin(x))=(3x)/x=3$
$lim_(x->oo)(3x-sin(x))/(x+2sin(x))=(3x)/x=3$
Semplicemente, basta mettere \(3x\) in evidenza a numeratore ed \(x\) in evidenza al denominatore per ricondursi al limite:
\[
\lim_{x\to +\infty} 3\ \frac{1-\frac{\sin x}{3x}}{1+\frac{2\sin x}{x}}
\]
che è calcolabile con i teoremi sui limiti.
\[
\lim_{x\to +\infty} 3\ \frac{1-\frac{\sin x}{3x}}{1+\frac{2\sin x}{x}}
\]
che è calcolabile con i teoremi sui limiti.
@lordSigur: il procedimento è corretto e rigoroso.
Se vuoi puoi anche procedere raccogliendo gli infiniti principali a numeratore e denominatore:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{3x-\sin x}{x+2\sin x}
= \lim_{x\to+\infty}\frac{3x[1-(\sin x)/(3x)]}{x[1+(2\sin x)/x]}
= \lim_{x\to+\infty}3\cdot\frac{1-(\sin x)/(3x)}{1+(2\sin x)/x}\,.
\]
Nell'ultima frazione siano numeratore che denominatore tendono a \(1\), in quanto
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x} = 0
\]
usando ad esempio il criterio del confronto.
Edit: ha già risposto gugo.
Se vuoi puoi anche procedere raccogliendo gli infiniti principali a numeratore e denominatore:
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{3x-\sin x}{x+2\sin x}
= \lim_{x\to+\infty}\frac{3x[1-(\sin x)/(3x)]}{x[1+(2\sin x)/x]}
= \lim_{x\to+\infty}3\cdot\frac{1-(\sin x)/(3x)}{1+(2\sin x)/x}\,.
\]
Nell'ultima frazione siano numeratore che denominatore tendono a \(1\), in quanto
\[
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin x}{x} = 0
\]
usando ad esempio il criterio del confronto.
Edit: ha già risposto gugo.