Limite di funzione. Passaggio incompreso durante svolgimento

[rizzellidj]

questo limite $ lim_(x -> oo) log sqrt(x+1)/x $ porta alla forma indeterminata $ oo/oo $

seguendo l'esercizio svolto, mi porta a fare questo passaggio che però non mi è chiaro:

$ lim_(x -> oo) log sqrt(x+1)/x = 1/2 * log(x+1)/(x+1) * (x+1)/x $

non siamo sempre nella forma $ oo/oo $ ??

[Seneca1]

Sì, ma $lim_( y -> +oo ) log(y)/(y) = 0$.

[rizzellidj]

oooh ora si che quadra... però questo $lim_( y -> +oo ) log(y)/(y) = 0$ non l'ho trovato da nessuna parte ..è un limite notevole?

[Seneca1]

"rizzellidj":oooh ora si che quadra... però questo $lim_( y -> +oo ) log(y)/(y) = 0$ non l'ho trovato da nessuna parte ..è un limite notevole?

Se vuoi considerarlo tale... Di solito si deduce mediante l'utilizzo del teorema di De L'Hospital.

Stesso discorso per $lim_(y -> +oo) e^y/y = +oo$.

[rizzellidj]

ah ok grazie!

ho ancora un dubbio sull'esercizio.. non si poteva risolvere in questo modo? :

$ lim_(x -> oo) log sqrt(x+1)/x = log sqrt(x+1)/sqrt(x+1) * sqrt(x+1)/x $

perchè si toglie la radice e si moltiplica per $1/2$

[Richard_Dedekind]

Trattasi di una proprietà elementare dei logaritmi:

[tex]\log(x^{\alpha})=\alpha\log(x)\;\;\forall x>0[/tex]

[Seneca1]

Sì, va bene.

[rizzellidj]

ma quindi si poteva risolvere senza applicare quella regola sui logaritmi? non va bene cmq?

[Seneca1]

Sì, si poteva.

[rizzellidj]

mi sebra superfluo aprire un'altra discussione per questa piccola domandina:

non ho capito come si può risolvere questo limite con i limiti notevoli..come si semplifica?

$ lim_(x -> oo) log(x^2 + 1)/2^x $

[n1ghtmar3]

siccome il logaritmo tende ad infinito più lentamente di $ 2^x $, il limite fa 0

[Seneca1]

"rizzellidj":mi sebra superfluo aprire un'altra discussione per questa piccola domandina:

non ho capito come si può risolvere questo limite con i limiti notevoli..come si semplifica?

$ lim_(x -> oo) log(x^2 + 1)/2^x $

Immagino che il limite sia per $x -> +oo$. Se vuoi usare i limiti notevoli che ti ho mostrato ieri, puoi scrivere il tuo limite come segue:
$ lim_(x -> +oo) log(x^2 + 1)/(x^2 + 1) * (x^2 + 1)/2^x = 0$

E' comunque un risultato noto che, per $x -> +oo$, l'ordine di infinito di una funzione esponenziale sia maggiore rispetto all'ordine di infinito di una qualsiasi funzione polinomiale. Inoltre, presa una funzione polinomiale, si ha che l'ordine di infinito di questa è maggiore rispetto all'ordine di infinito di un logaritmo.

Insomma, si può dedurre una "gerarchia degli ordini di infinito" che spesso può aiutare a risolvere i limiti con una certa rapidità.

[rizzellidj]

grazie!! ufff ma come devo fare?? molto spesso mi blocco sugli esercizi e non riesco a capire qual è la strada da prendere per la soluzione..

[Seneca1]

Fortuna che non esiste una ricetta per tutto!

[rizzellidj]

"Seneca":Fortuna che non esiste una ricetta per tutto!

magariiii

[Seneca1]

Come magari? Fare matematica sarebbe insipido.

[rizzellidj]

"Seneca":Come magari? Fare matematica sarebbe insipido.

non ti posso contraddire.. è vero!