Limite di funzione integrale
Propongo un esercizio riguardante un limite di una funzione integrale. L'esercizio consiste nel calcolare il seguente limite:
$$ \lim_{x\to 0^{+} }\int_{x/2}^{x} \frac{1-cos(t)}{\sqrt{t^5}}dt$$
E un altro esercizio chiede di fare la stessa cosa ma con $t^3$ al denominatore. Le soluzioni sono:
Il problema è che non so come trattare questo limite, non bisogna calcolare esplicitamente la primitiva, come mi comporto allora? Avevo pensato di calcolare il polinomio di Taylor centrato in 0 e stimare il limite, ma così non mi torna la soluzione.
$$ \lim_{x\to 0^{+} }\int_{x/2}^{x} \frac{1-cos(t)}{\sqrt{t^5}}dt$$
E un altro esercizio chiede di fare la stessa cosa ma con $t^3$ al denominatore. Le soluzioni sono:
Il problema è che non so come trattare questo limite, non bisogna calcolare esplicitamente la primitiva, come mi comporto allora? Avevo pensato di calcolare il polinomio di Taylor centrato in 0 e stimare il limite, ma così non mi torna la soluzione.
Risposte
Penso che o hai sbagliato a scrivere l'integrale o i risultati che hai siano sbagliati. Il limite
$$
\lim_{x \to 0} \int_{x/2}^x \frac{1-\cos t }{ t^\alpha } dt
$$
è $0$ se $\alpha < 3$ e $\infty$ se $\alpha > 3$, come si vede facilmente usando il teorema della media:
$$
\int_{x/2}^x \frac{1-\cos t }{ t^\alpha } dt = \frac{x}{2} \frac{ 1 - \cos \xi }{ \xi^\alpha }
$$
dove $\xi \in [ x/2 , x ]$ e dunque $\xi ~ \beta x$ per $x \to 0$, da cui
$$
\frac{x}{2} \frac{ 1 - \cos \xi }{ \xi^\alpha } \sim \frac{ \beta^{2-\alpha} }{ 4 } x^{ 3 - \alpha }
$$
e quindi quanto detto sopra.
$\alpha = 3$ è l'unico caso interessante e per stimare il risultato del limite finito si può integrare per parti un paio di volte:
$$
\int_{x/2}^x \frac{1-\cos t }{ t^3 } = -\left. \frac{1}{2 t^2}( 1 - \cos t ) \right|^x_{x/2} - \left. \frac{\sin t}{2 t} \right|^x_{x/2} + \int_{x/2}^x \frac{\cos t}{2 t} dt
$$
i primi due termini tendono a $0$, mentre l'ultimo si può riscrivere
$$
\int_{x/2}^x \frac{\cos t}{2 t} dt = \int_{x/2}^x \frac{1}{2 t} dt + \int_{x/2}^x \frac{\cos t-1}{2 t} dt = \log 2/2 + O(x^2)
$$
in quanto il secondo termine è infinitesimo per $x \to 0$ e si vede abbastanza facilmente col teorema della media.
Probabilmente c'è un modo più facile di fare vedere che è questo il risultato, comunque ho controllato tutto quello che ho scritto con mathematica.
$$
\lim_{x \to 0} \int_{x/2}^x \frac{1-\cos t }{ t^\alpha } dt
$$
è $0$ se $\alpha < 3$ e $\infty$ se $\alpha > 3$, come si vede facilmente usando il teorema della media:
$$
\int_{x/2}^x \frac{1-\cos t }{ t^\alpha } dt = \frac{x}{2} \frac{ 1 - \cos \xi }{ \xi^\alpha }
$$
dove $\xi \in [ x/2 , x ]$ e dunque $\xi ~ \beta x$ per $x \to 0$, da cui
$$
\frac{x}{2} \frac{ 1 - \cos \xi }{ \xi^\alpha } \sim \frac{ \beta^{2-\alpha} }{ 4 } x^{ 3 - \alpha }
$$
e quindi quanto detto sopra.
$\alpha = 3$ è l'unico caso interessante e per stimare il risultato del limite finito si può integrare per parti un paio di volte:
$$
\int_{x/2}^x \frac{1-\cos t }{ t^3 } = -\left. \frac{1}{2 t^2}( 1 - \cos t ) \right|^x_{x/2} - \left. \frac{\sin t}{2 t} \right|^x_{x/2} + \int_{x/2}^x \frac{\cos t}{2 t} dt
$$
i primi due termini tendono a $0$, mentre l'ultimo si può riscrivere
$$
\int_{x/2}^x \frac{\cos t}{2 t} dt = \int_{x/2}^x \frac{1}{2 t} dt + \int_{x/2}^x \frac{\cos t-1}{2 t} dt = \log 2/2 + O(x^2)
$$
in quanto il secondo termine è infinitesimo per $x \to 0$ e si vede abbastanza facilmente col teorema della media.
Probabilmente c'è un modo più facile di fare vedere che è questo il risultato, comunque ho controllato tutto quello che ho scritto con mathematica.
è vero, non avevo pensato al teorema della media integrale! Grazie mille adesso mi torna tutto (sul momento non ho l'esercizio sotto mano perchè l'ho trovato non ricordo dove online, mi sarrò sbagliato a copiare le soluzioni)
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