Limite di funzione in due variabili
Ciao ragazzi ho questo limite:
$lim_((x,y) -> 0) (xy)/(x^3+y^9)$
Io ho ragionato così: verifico che lungo le restrizioni immediate il limite esista quindi lungo $f(x,0)=0$, $f(0,y)=0$,$f(x,x)=infty$ (devo già insospettirmi?). Provo a passare in coordinate polari ed ho lo stesso risultato. Posso dire di aver già trovato una curva lungo la quale il limite non esiste e dunque la funzione non è continua? Basta questo?
Stessa questione con $f(x,y)=x^2/(sqrt(x^2+y^2))$.
Ho controllato con varie restrizioni e con il passaggio in coordinate polari ma ho sempre $0$. Altra domanda: siccome al denominatore c'è la norma si deve procedere in modo diverso?
Grazie
$lim_((x,y) -> 0) (xy)/(x^3+y^9)$
Io ho ragionato così: verifico che lungo le restrizioni immediate il limite esista quindi lungo $f(x,0)=0$, $f(0,y)=0$,$f(x,x)=infty$ (devo già insospettirmi?). Provo a passare in coordinate polari ed ho lo stesso risultato. Posso dire di aver già trovato una curva lungo la quale il limite non esiste e dunque la funzione non è continua? Basta questo?
Stessa questione con $f(x,y)=x^2/(sqrt(x^2+y^2))$.
Ho controllato con varie restrizioni e con il passaggio in coordinate polari ma ho sempre $0$. Altra domanda: siccome al denominatore c'è la norma si deve procedere in modo diverso?
Grazie
Risposte
Se passiamo in coordinate polari il primo viene $(\rho^2cos\thetasin\theta)/((\rho^3)(cos^3\theta+\rho^6sin^9\theta))$ (controllate bene anche voi 
) e semplificando ottengo $(cos\thetasin\theta)/(cos^3\theta+\rho^6sin^9\theta)$ da cui facendo il limite cosa possiamo concludere!?
Per quanto riguarda il secondo, ragiona allo stesso modo, e noterai il limite da studiare è $(\rho^2cos^2\theta)/\rho$, cosa possiamo dire?!
) e semplificando ottengo $(cos\thetasin\theta)/(cos^3\theta+\rho^6sin^9\theta)$ da cui facendo il limite cosa possiamo concludere!? Per quanto riguarda il secondo, ragiona allo stesso modo, e noterai il limite da studiare è $(\rho^2cos^2\theta)/\rho$, cosa possiamo dire?!
Si lorin anzitutto grazie per aver risposto. Il primo tende ad $infty$ quindi non esiste, il secondo invece tende a $0$ e quindi esiste ed è finito ma, la mai domanda era: "questo basta per dire che il limite esiste e vale 0 e quindi la funzione è continua in $(0,0)$?" (stesso discorso per l'altro limite)
P.S. Secondo me si, perchè passando in coordinate polari in sostanza non si fa altro che considerare l'intorno del punto cui si vuole calcolare il limite e pertanto si considerano TUTTE le direzioni. Cioè sto considerando: $B(0,\rho)$ con $\rho>=0$ è giusto? Correggimi se sbaglio... tuttavia volevo una conferma da parte vostra perchè questo metodo nel programma del mio prof non c'è quindi non sono sicuro di poterlo usare all'esame!
P.S. Secondo me si, perchè passando in coordinate polari in sostanza non si fa altro che considerare l'intorno del punto cui si vuole calcolare il limite e pertanto si considerano TUTTE le direzioni. Cioè sto considerando: $B(0,\rho)$ con $\rho>=0$ è giusto? Correggimi se sbaglio... tuttavia volevo una conferma da parte vostra perchè questo metodo nel programma del mio prof non c'è quindi non sono sicuro di poterlo usare all'esame!
"paolotesla91":
Si lorin anzitutto grazie per aver risposto. Il primo tende ad $infty$ quindi non esiste
Direi di no.
Quando fai il primo limite ti viene un rapporto di funzioni goniometriche $(sin\theta)/(cos^2\theta)$ il cui valore varia al variare dell'angolo, per questo motivo il limite non esiste.
Per quanto riguarda il secondo limite allora sono d'accordo con te, perchè quando passi in polari sostanzialmente vai a studiare al variare di $\theta$ tutte le possibili direzioni delle rette che passano per il generico punto $(x,y)$ quindi convergendo quel limite posso dire che c'è continuità in $(0,0)$
"Lorin":
... e semplificando ottengo $(cos\thetasin\theta)/(cos^3\theta+\rho^6sin^9\theta)$ da cui facendo il limite cosa possiamo concludere!?
Scusa Lorin ma non mi trovo con questo calcolo..io ho un altro $\rho$ al denominatore sbaglio qualcosa?
Per il secondo grazie per la conferma
! Tu dici che siccome non c'è nel programma il mio prof potrebbe non considerare l'esercizio o addirittura annulla il compito? P.S. da quanto ho capito questo metodo sembra il più preciso ed attendibile rispetto a restrizioni e maggiorazioni, dunque mi chiedo: "perchè il mio prof non ha spiegato questo metodo?" Mah o.O
Quando fai il limite il pezzettino $\rho^6sin^9\theta->0$ però comunque ti rimane il contributo del $cos^3\theta$ al denominatore..
OT: mah non so cosa dirti...di solito quando si spiegano queste cose in analisi II il metodo del cambio in coordinate polari viene spiegato, poi io non penso che il prof annulli la prova se tu lo usi...puoi sempre appellarti al fatto che lo hai studiato su un libro di esercizi e lo hai trovato utile...
OT: mah non so cosa dirti...di solito quando si spiegano queste cose in analisi II il metodo del cambio in coordinate polari viene spiegato, poi io non penso che il prof annulli la prova se tu lo usi...puoi sempre appellarti al fatto che lo hai studiato su un libro di esercizi e lo hai trovato utile...
Che il limite non esista si vede a occhio.
Infatti sulla curva \(x=y^3\) trovi \(\lim_{y\to 0} |f(y^3,y)|=\infty\), mentre sugli assi il limite viene nullo.
Infatti sulla curva \(x=y^3\) trovi \(\lim_{y\to 0} |f(y^3,y)|=\infty\), mentre sugli assi il limite viene nullo.
No lorin mi riferisco alla semplificazione, io ho che:
$(\rho^2(cos(\theta)sin(\theta)))/(\rho^3(cos^3(\theta)+\rho^6sin^9(\theta)))$
semplificando ho:
$(cos(\theta)sin(\theta))/(\rho(....))$
Ti trovi?
$(\rho^2(cos(\theta)sin(\theta)))/(\rho^3(cos^3(\theta)+\rho^6sin^9(\theta)))$
semplificando ho:
$(cos(\theta)sin(\theta))/(\rho(....))$
Ti trovi?
ah comunque grazie per il consiglio lo userò all'esame se posso e mal che vada gli dico così 
Ragazzi posto un altro esercizio, ho la funzione così definita:
$f(x,y)=(x^2y)/(x^2+y^2), AA(x,y)!=0$
$f(x,y)=1, AA(x,y)=0$
Ho provato con le restrizioni e con il cambiamento di variabile ma niente non riesco a dimostrare che è continua! Proponete qualcosa?
Ragazzi posto un altro esercizio, ho la funzione così definita:
$f(x,y)=(x^2y)/(x^2+y^2), AA(x,y)!=0$
$f(x,y)=1, AA(x,y)=0$
Ho provato con le restrizioni e con il cambiamento di variabile ma niente non riesco a dimostrare che è continua! Proponete qualcosa?
"paolotesla91":
No lorin mi riferisco alla semplificazione, io ho che:
$(\rho^2(cos(\theta)sin(\theta)))/(\rho^3(cos^3(\theta)+\rho^6sin^9(\theta)))$
semplificando ho:
$(cos(\theta)sin(\theta))/(\rho(......))$
Ti trovi?
Non mi trovo con quello che scrivi...perchè tolto $cos^3\theta$ dal denominatore?!
aspetta correggo
"paolotesla91":
Ragazzi posto un altro esercizio, ho la funzione così definita:
$f(x,y)=(x^2y)/(x^2+y^2), AA(x,y)!=0$
$f(x,y)=1, AA(x,y)=0$
Ho provato con le restrizioni e con il cambiamento di variabile ma niente non riesco a dimostrare che è continua! Proponete qualcosa?
Tieni presente che:
\[
xy\leq \frac{1}{2}\ (x^2+y^2)\; \ldots
\]
@Lorin:
semplificando ho:
$(cos(\theta)sin(\theta))/(\rho(cos^3(\theta)+\rho^6sin^9(\theta)))$
Ho corretto ora ti trovi? (avevo messo i puntini per risparmiarmi di scrivere tutto quello) xD scusa la mia sfaticatezza
@gugo: si gugo ho già notato questa cosa grazie lo stesso ma comunque il limite mi fa $0$. Non dovrebbe invece essere $1$ che è il valore di f nell'origine?
semplificando ho:
$(cos(\theta)sin(\theta))/(\rho(cos^3(\theta)+\rho^6sin^9(\theta)))$
Ho corretto ora ti trovi?
(avevo messo i puntini per risparmiarmi di scrivere tutto quello) xD scusa la mia sfaticatezza @gugo: si gugo ho già notato questa cosa grazie lo stesso ma comunque il limite mi fa $0$. Non dovrebbe invece essere $1$ che è il valore di f nell'origine?
Ah si si hai ragione e allora si è come dici tu
Anche se seguendo il ragionamento di gugo si fa prima.
Anche se seguendo il ragionamento di gugo si fa prima.
infatti xD eheh! per quanto riguarda quest'altro? come mi consigli di procedere?
Per l'altro segui sempre Gugo che ti ha fatto un ottima osservazione...
si lorin ed ho anche risposto già nel post di prima, inoltre ho visto che c'è un topic con un esercizio molto simile al mio solo che lì c'è un: $1+...$ e questo giustifica il valore di f in $(0,0)$ mentre qui non c'è.
@Lorin: i puntini sospensivi li ho messi al posto della funzione che è la stessa che ho già scritto
@Lorin: i puntini sospensivi li ho messi al posto della funzione che è la stessa che ho già scritto
ragazzi a questo punto secondo me la fonte da cui ho preso l'esercizio è errata! Mah...
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