Limite di funzione in due variabili
da diversi giorni sto tentando invano di risolvere questo limite in due variabili:
$lim_(x,y->0)(((x^2)*(y^3))/(|x|^4+|y|^6))$
per prima cosa ho provato a calcolarlo lungo diverse restrizioni della funzione:
per x=0 ho $lim_(y->0)(0/|y|^6) = 0$
per y=0 ho $lim_(x->0)(0/|x|^4) = 0$
per y=x ho $lim_(x->0)(x^7/(|x|^4+|x|^6)) = 0$
ed il fatto che questi limiti dessero gli stessi risultati, mi ha portato a pensare che effettivamente il limite esista e valga 0, ma ora sorge il mio problema: come mostrare che è così in ogni caso?
l'unica idea che ho avuto è stata quella di cercare una stima utile per il denominatore:
considerando $|y|<1$
$|x|^4+|y|^6<=|x|^4+|y|^4<=(|x|+|y|)^4$
poi che $|x|+|y|>=sqrt(x^2+y^2)$
ma con scarsi risultati.
avrei dunque bisogno di un consiglio su che strada intrapendere, visto che le mi idee hanno evidentemente delle falle che non sono in grado di trovare.
nella speranza, da neofita di questo forum, di aver scritto correttamente le formule,
ringrazio davvero tanto chiunque perderà un po' del proprio tempo per aiutarmi.
manuela
$lim_(x,y->0)(((x^2)*(y^3))/(|x|^4+|y|^6))$
per prima cosa ho provato a calcolarlo lungo diverse restrizioni della funzione:
per x=0 ho $lim_(y->0)(0/|y|^6) = 0$
per y=0 ho $lim_(x->0)(0/|x|^4) = 0$
per y=x ho $lim_(x->0)(x^7/(|x|^4+|x|^6)) = 0$
ed il fatto che questi limiti dessero gli stessi risultati, mi ha portato a pensare che effettivamente il limite esista e valga 0, ma ora sorge il mio problema: come mostrare che è così in ogni caso?
l'unica idea che ho avuto è stata quella di cercare una stima utile per il denominatore:
considerando $|y|<1$
$|x|^4+|y|^6<=|x|^4+|y|^4<=(|x|+|y|)^4$
poi che $|x|+|y|>=sqrt(x^2+y^2)$
ma con scarsi risultati.
avrei dunque bisogno di un consiglio su che strada intrapendere, visto che le mi idee hanno evidentemente delle falle che non sono in grado di trovare.
nella speranza, da neofita di questo forum, di aver scritto correttamente le formule,
ringrazio davvero tanto chiunque perderà un po' del proprio tempo per aiutarmi.
manuela
Risposte
Per limiti di questo tipo può essere utile rendere "omogeneo" il denominatore.
In questo caso puoi valutare la funzione su $x^2 = y^3$, vale a dire $f(x, x^{2/3})$, $x>0$.
In questo caso puoi valutare la funzione su $x^2 = y^3$, vale a dire $f(x, x^{2/3})$, $x>0$.
ma in questo modo mi troverei a considerare nuovamente solo una restrizione della funzione...
Certo che sì, ma vedi un po' che succede...
$lim_(x->0)((x^2*(x^(2/3))^3)/(|x|^4+|x^(2/3)|^6)) = lim_(x->0)(x^4/(2*|x^4|)) = 1/2$ 
quindi...quindi....se non ho sbagliato il calcolo..il limite che cercavo non esiste?!!!?!?!
scusami davvero per non aver provato a fare i conti prima del tuo secondo messaggio!
quindi...quindi....se non ho sbagliato il calcolo..il limite che cercavo non esiste?!!!?!?!
scusami davvero per non aver provato a fare i conti prima del tuo secondo messaggio!
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